determine o décimo sétimo termo de uma PA (-6,-1,4...)
Soluções para a tarefa
a17= ?
n= 17
r= a2-a1= 5
an=a1+(n-1).r
a17=-6+(17-1).5
a17=-6+16.5
a17=-6+80
a17=74
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (-6, -1, 4,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades (por exemplo, -1=-6+5 e 4=-1+5). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -6
d)décimo sétimo termo (a₁₇): ?
e)número de termos (n): 17
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 17ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do décimo sétimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, aproximando-se e depois afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, haja vista que o terceiro termo é positivo e a este e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = -1 - (-6) ⇒
r = -1 + 6 ⇒
r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo sétimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₇ = -6 + (17 - 1) . (5) ⇒
a₁₇ = -6 + (16) . (5) ⇒
a₁₇ = -6 + 80 ⇒
a₁₇ = 74
RESPOSTA: O décimo sétimo termo da P.A. (-6, -1, 4, ...) é 74.
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₁₇ = 74 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo sétimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
74 = a₁ + (17 - 1) . (5) ⇒
74 = a₁ + (16) . (5) ⇒
74 = a₁ + 80 ⇒
74 - 80 = a₁ ⇒
-6 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = -6 (Provado que a₁₇ = 74.)
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