Matemática, perguntado por gabbrieladsg, 10 meses atrás

Determine o décimo segundo termo da PA (23,41,59...)

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (23, 41, 59,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 23

b)décimo segundo termo (a₁₂): ?

c)número de termos (n): 12 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 12ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do décimo segundo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 41 - 23 ⇒

r = 18 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o décimo segundo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₂ = 23 + (12 - 1) . (18) ⇒

a₁₂ = 23 + (11) . (18) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₂ = 23 + 198 ⇒

a₁₂ = 221

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 12º termo da P.A(23, 41, 59, ...) é 221.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₂ = 221 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo segundo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

221 = a₁ + (12 - 1) . (18) ⇒

221 = a₁ + (11) . (18) ⇒

221 = a₁ + 198 ⇒ (Passa-se 198 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

221 - 198 = a₁ ⇒

23 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 23 (Provado que a₁₂ = 221.)

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