Determine o décimo segundo termo da PA: (1; 3; 5;...)
Soluções para a tarefa
Resposta:
O décimo segundo termo é 23
Explicação passo-a-passo:
PA: (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23)
vale melhor resposta? ;D
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (1; 3; 5; ...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 2 unidades (por exemplo, 3=1+2 e 5=3+2). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 1
d)décimo segundo termo (a₁₂): ?
e)número de termos (n): 12
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 12ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do décimo segundo termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, porque o terceiro termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 3 - 1 ⇒
r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo segundo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₂ = 1 + (12 - 1) . (2) ⇒
a₁₂ = 1 + (11) . (2) ⇒
a₁₂ = 1 + 22 ⇒
a₁₂ = 23
RESPOSTA: O décimo segundo termo da P.A. (1; 3; 5; ...) é 23.
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COMPROVAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₁₂ = 23 na fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo segundo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
23 = a₁ + (12 - 1) . (2) ⇒
23 = a₁ + (11) . (2) ⇒
23 = a₁ + 22 ⇒
23 - 22 = a₁ ⇒
1 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 1 (Provado que o décimo segundo termo é 23.)
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