Matemática, perguntado por thepurpplex, 10 meses atrás

Determine o décimo oitavo termo da pa (1,8,15,...)

Soluções para a tarefa

Respondido por gfelipee

Resposta:

$a_{18} = 120$

Explicação passo-a-passo:

A razão de uma PA é dada pela diferença entre dois termos consecutivos. Logo, a razão dessa PA é 8-1 = 7

Termo geral para descobrir o n-ésimo termo:

$a_{n} = a_{1} + r*(n-1)$

Para n = 18

$a_{18} = 1 + 7*(18-1)$

$a_{18} = 120$

Bons estudos!

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (2, 5,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:1

c)décimo oitavo termo (a₁₈): ?

d)número de termos (n): 18 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 18ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do décimo oitavo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 8 - 1 ⇒

r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo oitavo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₈ = 1 + (18 - 1) . (7) ⇒

a₁₈ = 1 + (17) . (7) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₈ = 1 + 119 ⇒

a₁₈ = 120

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo oitavo termo da P.A.(1, 8, 15, ...) é 120.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₈ = 120 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo oitavo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

120 = a₁ + (18 - 1) . (7) ⇒

120 = a₁ + (17) . (7) ⇒

120 = a₁ + 119 ⇒ (Passa-se 119 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

120 - 119 = a₁ ⇒

1 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 1 (Provado que a₁₈ = 120.)

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