Question

Determine o conjuntos solução da equação. (log_2 X)² - 9log_8 X =4


OBS.: O comando com um traço ( _ ) significa que está sublinhado. Teve uma pergunta aqui no Brainly semelhante respondida, porém erraram na digitação e ficou como se o 2 e o 8 fossem logaritmando e não como a base.

Answer 1

$\displaystyle \sf \left(\log_2 x \right)^2-9\log_{8}x= 4 \\\\ \text{Fa{\c c}amos mudan{\c c}a de base para base 2 } : \\\\ \left(\log_2 x \right)^2-\frac{9\log_2x}{\log_28} = 4 \\\\\\ \left(\log_2 x \right)^2 -\frac{9\log_2x}{\log_2 2^3} = 4 \\\\\\ \left(\log_2 x \right)^2 - \frac{9\log_2x}{3\cdot \log_22} = 4 \\\\\\ \left(\log_2 x \right)^2 - 3\log_2x= 4$

$\displaystyle \sf \text{Mudan{\c c}a de vari{\'a}vel } \log_2 x \right = a : \\\\ a^2-3a-4 = 0 \\\\ a = \frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot(-4) \cdot 1} }{2} \\\\\\ a = \frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} \to a = \frac{3\pm\sqrt{25}}{2} \\\\\\ a = \frac{3\pm 5 }{2} \to \left\{\begin{array}{I}\displaystyle \sf a= \frac{3+5}{2}\to a = 4\\\\ \displaystyle \sf a=\frac{3-5}{2}\to a = -1 \end{array}}$

$\displaystyle \sf Da{\'i}} : \\\\ \log_2x= 4 \to x = 2^4 \to x = 16 \\\\ \log_2x = -1 \to x = 2^{-1} \to x= \frac{1}{2} \\\\\\ Portanto : \\\\ \boxed{\sf S = \left\{ x = 16 \ e \ x= \frac{1}{2} \right\} }\checkmark$