Question

Determine o conjunto verdade das seguintes equacoes exponenciais 
a) $4^{x} + 16 = 17 . 2^{x}$

b)$\frac{ 2^{2x} - 2 . 2^{x} }{8} = 1$

Answer 1

a) 

    
2^2x - 17.2^x + 16 = 0   ==> 2^x = y

y^2 - 17y + 16 =0

delta= 17^2 - 4.1.16= 289-64= 225

y= 17+/-V225==> y = 17+/-15
            2.1                     2

y1=17+15 ==>y= 16
       2
y2= 17-15 ==>y2 = 1
         2

2^x = y1 ==> 2^x = 16 ==> 2^x= 2^4 ==> x1= 4
2^x = y2 ==> 2^x = 1 ==> 2^x= 2^0 ==> x2= 0



b)

2^2x - 2.2^x - 8 = 0   ==> 2^x = y

y^2 - 2y - 8 =0

delta= (-2)^2 - 4.1.(-8)= 4 + 32= 36

y= 2 +/-V36==> y = 2+/-6
            2.1                2

y1= 2+6 ==>y1= 4
        2
y2= 2 - 6 ==>y2 = - 2 não serve pois é negativo
         2

2^x = y1 ==> 2^x = 4 ==> 2^x= 2^2 ==> x1= 2

Answer 2

EXPONENCIAL

Equações Exponencias 3° tipo

a) $4 ^{x}+16=17* 2^{x}$

fatorando o 4, temos:

$(2 ^{2}) ^{x}+16=17* 2^{x}$

$2 ^{2x}+16=17*2 ^{x}$

trocando o expoente de posição, fazendo 2x=x², temos:

$(2 ^{x}) ^{2}+16=17*2 ^{x}$

Agora vamos utilizar uma variável auxiliar, $2 ^{x}=y$

$(y) ^{2}+16=17*(y)$

$y^{2}+16=17y$

$y^{2}+16-17y=0$

$y ^{2}-17y+16=0$  resolvendo a equação do 2° grau, obtemos as raízes

y'=16 e y"=1, voltando a variável original, $y= 2^{x}$

$16= 2^{x}$ ==> $2 ^{4}= 2^{x}$ ==> x=4

$1=2 ^{x}$ ==> $2 ^{0}=2^{x}$ ==> x=0


Solução: V={4, 0}





b) $\frac{2 ^{2x}-2* 2^{x} }{8}=1$

$2 ^{2x} -2* 2^{x} =1*8$

$(2 ^{x}) ^{2}-2*2 ^{x} =8$

Utilizando novamente uma variável auxiliar, $2^{x}=m$

$(m) ^{2} -2*(m)=8$

$m ^{2}-2m-8=0$  resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes

m'=4 e m"= -2, voltando  a variável original, temos:

$m= 2^{x}$ ==> $4= 2^{x}$ ==> $2 ^{2}=2 ^{x}$ ==> x=2

$-2= 2^{x}$ não é solução, logo:



Solução: V={2}