Question

Determine o conjunto verdade da seguinte equação exponencial 25^X – 30 . 5^X = -125 R= 1,2​

Answer 1

Fatorando a base "25", temos:

$25^x~-~30\cdot 5^x~=\,-125\\\\\\\left(5^2\right)^x~-~30\cdot 5^x~=\,-125$

Pela propriedade da potência de potência, podemos comutar os expoentes "2" e "x" no termo (5^2)^x:

$5^{2x}~-~30\cdot 5^x~=\,-125\\\\\\\left(5^x\right)^2~-~30\cdot 5^x~=\,-125\\\\\\\boxed{\left(5^x\right)^2~-~30\cdot 5^x~+~125~=~0}$

Note que a equação acima se assemelha a uma equação quadrática (2° grau). Vamos então aplicar Bhaskara para resolve-la.

$\underline{Seja~~w=5^x}:\\\\\\\left(5^x\right)^2~-~30\cdot 5^x~+~125~=~0~~\Rightarrow~~\boxed{w^2~-~30w~+~125~=~0}\\\\\\\Delta~=~(-30)^2-4\cdot 1\cdot 125\\\\\Delta~=~900-500\\\\\boxed{\Delta~=~400}\\\\\\w'~=~\dfrac{30+\sqrt{400}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{30+20}{2}~=~\dfrac{50}{2}~~\Rightarrow~\boxed{w'~=~25}\\\\\\w''~=~\dfrac{30-\sqrt{400}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{30-20}{2}~=~\dfrac{10}{2}~~\Rightarrow~\boxed{w''~=~5}$

Vamos voltar com a substituição feita (w=5^x) para determinar os valores de "x" que atendem à equação apresentada no exercício.

$\underline{Para~~w=w'}:\\\\\\5^x~=~25\\\\5^x~=~5^2\\\\\backslash\!\!\!5^x~=~\backslash\!\!\!5^2\\\\\boxed{x~=~2}\\\\\\\underline{Para~~w=w''}:\\\\\\5^x~=~5\\\\5^x~=~5^1\\\\\backslash\!\!\!5^x~=~\backslash\!\!\!5^1\\\\\boxed{x~=~1}$

Temos então o conjunto solução:  S = {1 , 2}

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$