Question

Determine o conjunto solução do sistema de inequações $\left \{ {{ x^{2} -2x \leq 0} \atop {-x+2x+3\ \textgreater \ 0}} \right.$

Answer 1

Encontrando o conjunto solução da primeira inequação:

$x^{2}-2x\le0\\\\x\cdot(x-2)\le0$

Estudando o sinal de cada parcela (na verdade só da segunda, nesse caso, pois x > 0 se x > 0 e x < 0 se x < 0):

$x-2~\textgreater~0~\Leftrightarrow~x~\textgreater~2\\\\x-2\le0~\Leftrightarrow~x\le2$

Marcamos os dois intervalos encontrados numa reta e fazemos o "produto de sinais", encontrando que

$x(x-2)\le0$ se $0\le x\le2$

Ou, equivalentemente, se $x\in[0,2]$
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Encontrando o conjunto solução da segunda inequação:

$-x^{2}+2x+3~\textgreater~0$

Para isso, vamos encontrar as raízes de $-x^{2}+2x+3$

Por Bhaskara, temos que

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4(-1)\cdot3}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{-2}=\dfrac{-2\pm4}{-2}=1\pm2$

Logo, $x=-1,~x=3$ são as raízes dessa equação. Portanto, podemos escrever $-x^{2}+2x+3$ como $-(x+1)(x-3)$ [verifique, esse é um resultado do Teorema Fundamenal da Álgebra)

$-x^{2}+2x+3~\textless~0\\\\-(x+1)(x-3)~\textless~0\\\\(x+1)(3-x)~\textless~0$

Estudando o sinal das parcelas:

$x+1~\textgreater~0~~~se~x~\textgreater-1\\x+1~\textless~0~~~se~x~\textless-1\\\\3-x~\textgreater~0~~~se~-x~\textgreater-3~\Leftrightarrow~x~\textless~3\\3-x~\textless~0~~~se~-x~\textless-3~\Leftrightarrow~x~\textgreater~3$

Marcando esses intervalos em retas e fazendo o produto de sinais, novamente, encontramos que

$-x^{2}+2x+3~\textgreater~0~~~se~-1~\textless~x~\textless~3$

Ou, equivalentemente, se $x\in(-1,3)$
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Queremos valor(es) de $x$ que satisfaçam ambas inequações, isto é, valor(es) de $x$ que pertençam tanto ao intervalo $[0,2]$ quanto ao intervalo $(1,3)$. O(s) valor(es) de $x$ que pertencem simultaneamente aos dois intervalos são os valor(es) de $x$ que pertencem à interseção desses dois intervalos

Não é difícil encontrar que $[0,2]\cap(-1,3)=[0,2]$, portanto, qualquer valor de $x$ nesse intervalo soluciona, simultaneamente, as duas inequações do sistema

Concluímos, portanto, que o conjunto solução do sistema de inequações é dado por

$\boxed{\boxed{S=[0,2]=\{x\in\mathbb{R}~/~0\le x\le2\}}}$