Question

Determine o Conjunto solução do seguinte sistema linear, utilizando a regra de Cramer
{-2x -2y = -14
{2x + 3y = 18​

Answer 1

Sistema Linear

• Regra de Cramer

Cálculo:

• Determinante das Variáveis:

$\large \boxed{\begin{array}{lr}\begin{bmatrix} \sf \red x& \sf \red y\\ \sf \red x& \sf\red y\\ \end{bmatrix} \\ \end{array}} \\ \\\large\boxed{\begin{array}{lr}\begin{bmatrix} \sf - 2& \sf - 2\\ \sf 2& \sf 3\\ \end{bmatrix} \sf = - 6 + 4 = \red{-2}\\ \end{array}}$

• Determinante do x:

$\large \boxed{\begin{array}{lr}\begin{bmatrix} \sf - 14& \sf - 2\\ \sf 18& \sf 3\\ \end{bmatrix} \sf = - 42 + 36 = \red{-6}\\ \end{array}}$

• Determinante do y:

$\large \boxed{\begin{array}{lr}\begin{bmatrix} \sf - 2& \sf - 14\\ \sf 2& \sf 18\\ \end{bmatrix} \sf = - 36+ 28= \red{-8}\\ \end{array}}$

• Divisão dos Determinantes:

$\large \boxed{ \boxed{ \sf \: x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{ - 6}{ - 2} = \boxed{ \sf \red{3}}}} \\ \\ \\ \large\boxed{ \boxed{ \sf \: y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{ - 8}{ -2} = \boxed{ \sf \red{4}}}}$

➡️ Resposta:

• $\huge\boxed{ \huge \sf \: x = 3} \\ \huge \boxed{ \huge \sf y = 4}$

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Answer 2

Olá, bom dia!

Para resolucionarmos o sistema linear por Cramer, devemos primeiramente listar os determinantes.

$\sf \Bigg\{ \begin{matrix} \sf - 2x - 2y = - 14& \\ \sf 2x + 3y = 18& \end{matrix} \\ \\ \\ \sf D = \begin{vmatrix}\sf - 2&\sf - 2 \\\sf 2 &\sf 3 \\ \end{vmatrix} \\ \\ \sf D_{1} = \begin{vmatrix} \sf - 14& \sf - 2 \\\sf 18& \sf 3 \\ \end{vmatrix} \\ \\ \sf D_{2} = \begin{vmatrix} \sf - 2 &\sf - 14 \\\sf 2 &\sf 18 \\ \end{vmatrix}$

Agora iremos encontrar o determinante da matriz D utilizando a fórmula $\sf \begin{vmatrix} \sf \red j & \sf \green k \\ \sf \green l & \sf \red m \\ \end{vmatrix} = \red{jm} - \green{kl}$.

$\sf D = \begin{vmatrix}\sf \red{- 2} &\sf \green{- 2} \\ \sf \green2 &\sf \red3 \\ \end{vmatrix} \\ \\ \sf D = - 2 \cdot3 \red - \cancel ( \red- 2 \cancel) \cdot2 \\ \\ \sf D = - 2 \cdot3 \green+ 2 \cdot2 \\ \\ \sf D = - 6 + 2 \cdot2 \\ \\ \sf D = - 6 + 4 \\ \\ \huge \underline{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf D = - 2}}}}}}$

Utilizando a mesma fórmula para encontrar o determinante da matriz D, iremos encontrar o determinante da matriz $\sf D_{1}$.

• Caso não lembre qual era a fórmula $\sf \begin{vmatrix} \sf \red j & \sf \green k \\ \sf \green l & \sf \red m \\ \end{vmatrix} = \red{jm} - \green{kl}$

$\sf D _{1} = \begin{vmatrix} \sf \red{ - 14}& \sf \green{ - 2} \\ \sf \green{18} &\sf \red3\\ \end{vmatrix} \\ \\ \sf \sf D_{1} = - 14 \cdot3 - ( - 2) \cdot18 \\ \\ \sf D_{1} = - 42 \red- \cancel ( \red- 2 \cancel) \cdot18 \\ \\ \sf D_{1} = - 42 \green+ 2 \cdot18 \\ \\ \sf D_{1} = - 42 + 36 \\ \\ \huge \underline{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf D_{1} = - 6}}}}}}}$

Refazendo o mesmo processamento acima iremos calcular o determinante da matriz $\sf D_{2}$.

$\sf D_{2} = \begin{vmatrix} \sf \red{- 2}& \sf \green{ - 14} \\ \sf \green{2 }& \sf \red{18}\\ \end{vmatrix} \\ \\ \sf D_{2} = - 2 \cdot18 \red- \cancel( \red- 14 \cancel) \cdot2 \\ \\ \sf D_{2} = - 2 \cdot18 \green + 14 \cdot2 \\ \\ \sf D_{2} = - 36 + 14 \cdot2 \\ \\ \sf D_{2} = - 36 + 28 \\ \\ \huge \underline{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf D_{2} = - 8}}}}}}$

Determinantes:

• $\underline{\sf D = - 2}$
• $\underline{\sf D_{1} = - 6}$
• $\underline{\sf D_{2} = - 8}$

Dado que $\sf D \: \cancel = \: 0$, a regra de Cramer pode ser aplicada então iremos encontrar X e Y usando a fórmula $\sf x = \frac{D_{1} }{D}$, $\sf y = \frac{D_{2} }{D}$.

$\sf x = \frac{6}{2} \longleftrightarrow \red3 \\ \\ \\ \\ \sf y = \frac{8}{2} \longleftrightarrow \red4$

Solução:

$\huge \underline{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf (x,y) = (3,4)}}}}}}$

Att: Nerd1990