Question

Determine o conjunto solução das seguintes equações exponenciais:




a) 3˟⁺¹ + 3˟⁺² = 12    c) 2˟⁺² + 2˟⁻¹ = 18

b) 2˟⁺¹ + 2˟⁺³ = 20    d) 5˟⁻² + 5˟⁺¹ = 126

Answer 1

Olá Mxt5 tudo bem? Vamos lá?

a) 3˟⁺¹ + 3˟⁺² = 12 --> Uma das propriedades das equações exponenciais é a seguinte: A˟⁺¹ = A˟xA¹, logo:
Fazendo 3˟ = y teremos, assim teremos:

3˟⁺¹ + 3˟⁺² = 12 --> 3˟ . 3 + 3˟ . 3² = 12 --> y.3 + y.3² = 12 --> 3y + 9y = 12 --> 12y = 12 --> Aplicando a operação inversa dos dois lados da igualdade, onde o 12 multiplica o y, usaremos a divisão por 12 para isolar y
12y/12 = 12/12 --> y = 1, agora retornando a 3˟ = y encontraremos a solução da equação: 3˟ = 1 --> 3˟ = 3^0, portanto x = 0. S = {0}.

b) b) 2˟⁺¹ + 2˟⁺³ = 20, usaremos o mesmo raciocínio nesta equação e deste modo farei de modo direto, caso tenha dúvidas observe o exercício anterior.
2˟⁺¹ + 2˟⁺³ = 20 --> 2˟.2¹ + 2˟.2³ = 20 --> 2y + 2³y = 20 --> 2y + 8y = 20 --> 10y = 20 --> 10y/10 = 20/10 --> y = 2, como 2˟ = y --> 2˟ = 2¹ --> x = 1, S={1}.

c) 2˟⁺² + 2˟⁻¹ = 18 --> 2˟.2² + (2˟/2¹) = 18, nota-se que nesse exemplo estou usando a operação x - 1 como expoente e outra propriedade da potenciação é a seguinte: A˟⁻¹ = A˟ / A¹, continuando:

2˟.2² + (2˟/2¹) = 18 --> 4y + y/2 = 18 --> Aplicando o MMC

8y/2 + y/2 = 36/2 --> 8y + y = 36 --> 9y = 36 --> 9y/9 = 36/9 --> y = 4. Como 2˟ = y --> 2˟ = 4 --> 2˟ = 2² --> x = 2, S = {2}.

d) 5˟⁻² + 5˟⁺¹ = 126 --> 5˟/5² + 5˟.5¹ = 126 --> y/25 + 5y = 126 --> Aplicando o MMC y/25 + 125y/25 = 3150/25 --> y + 125y = 3150 --> 126y = 3150 --> y = 25, como 5˟ = y --> 5˟ = 25 --> 5˟ = 5² --> x = 2, S = {2}.