Question

determine o conjunto solução das seguintes equações exponenciais do 3 tipo:
A)2^2x - 3 . 2^x + 2 = 0
B)4^x - 9 . 2^x + 8 = 0
C)25^x - 30 . 5^x + 125 = 0
D)4^x - 12 . 2^x + 32 = 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Icaro, que a resolução é simples. Só é um pouco trabalhosa.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Tem-se as seguintes equações exponenciais:

a) 2²ˣ - 3*2ˣ + 2 = 0 ----- note que o símbolo * quer dizer vezes.

Note: na função acima, vamos fazer 2ˣ = y. E claro, se 2ˣ = y, então 2²ˣ = y², concorda? Então fazendo 2ˣ = y, iremos ficar com:

y² - 3y + 2 = 0 ----- note que se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

y' = 1
y'' = 2

Mas veja que fizemos 2ˣ = y. Então teremos:

a.i) Para y = 1, teremos:

2ˣ = 1 ---- veja que o "1" do 2º membro poderá ser substituído por 2⁰, pois todo número diferente de zero, quando ele está elevado a zero é sempre igual a "1". Assim, ficaremos com:

2ˣ = 2⁰ ---- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:

x = 0 <--- Esta é uma resposta válida para "x".

a.ii) Para y = 2, teremos:

2ˣ = 2 ---- note que o "2" que está no 2º membro tem, na verdade, expoente igual a "1", apenas não se coloca. Mas é como se fosse:

2ˣ = 2¹ ---- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:

x = 1 <--- Esta é outra resposta válida para "x".

a.iii) Assim, resumindo, teremos que:

x = 0; ou x'' = 1 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) 4ˣ - 9*2ˣ + 8 = 0 ----- veja que 4 = 2². Assim:

(2²)ˣ - 9*2ˣ + 8 = 0 ----- ou, o que é a mesma coisa:
2²ˣ - 9*2ˣ + 8 = 0 ----- utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, faremos 2ˣ = y. Assim, ficaremos com:

y² - 9y + 8 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

y' = 1
y'' = 8

Mas veja que fizemos 2ˣ = y. Então:

b.i) Para y = 1, teremos:

2ˣ = 1 ----- como "1" poderá ser substituído por "2⁰", teremos:
2ˣ = 2⁰ ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 0 <--- Esta é uma resposta válida.

b.ii) Para y = 8, teremos:

2ˣ = 8 ----- veja que 8 = 2³. Assim:
2ˣ = 2³ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 3 <--- Esta é outra resposta válida para "x".

b.iii) Assim, teremos que:

x = 0, ou x = 3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) 25ˣ - 30*5ˣ + 125 = 0 ----- note que 25 = 5². Assim:

(5²)ˣ - 30*5ˣ + 125 = 0 ----- ou, o que é a mesma coisa:
5²ˣ - 30*5ˣ + 125 = 0 ---- como nas outras questões, vamos fazer 5ˣ = y. Fazendo isso, ficaremos com:

y² - 30y + 125 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

y' = 5
y'' = 25.

Mas lembre-se que fizemos 5ˣ = y. Assim:

c.i) Para y = 5, teremos:

5ˣ = 5 ----- como o "5" sozinho no 2º membro equivale a 5¹, teremos:
5ˣ = 5¹ --- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes.Logo:
x = 1 <--- Esta é uma resposta válida para "x".

c.ii) Para y = 25, teremos;

5ˣ = 25 ---- note que 25 = 5². Assim:
5ˣ = 5² ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 2 <--- Este é outro valor válido para x.

c.iii) Assim, resumindo, temos que:

x = 1, ou x = 2 <--- Esta é a resposta para o item "c".

d) 4ˣ - 12*2ˣ + 32 = 0 ---- note que 4 = 2². Assim:

(2²)ˣ - 12*2ˣ + 32 = 0 ---- ou, o que é a mesma coisa:
2²ˣ - 12*2ˣ + 32 = 0 ----- utilizando o mesmo raciocínio das questões anteriores, vamos fazer 2ˣ = y. Com isso, ficaremos com:

y² - 12y + 32 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

y' = 4
y'' = 8

Mas veja que fizemos 2ˣ = y. Então teremos:

d.i) Para y = 4, teremos:

2ˣ = 4 ---- como 4 = 2², teremos:
2ˣ = 2² ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 2 <--- Este é um valor válido para "x".

d.ii) Para y = 8, teremos:

2ˣ = 8 ---- como 8 = 2³, teremos:
2ˣ = 2³ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes.Logo:
x = 3 <--- Este é outro valor também válido para "x".

d.iii) Assim, resumindo, temos que:

x = 2, ou x = 3 <--- Esta é a resposta para o item "d".


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.