Question

determine o conjunto solução daequaçaox⁴-x³-11x²-x-12=0 sabendo que i é uma de suas raízes

Answer 1

Bom dia 

x⁴ - x³ - 11x² - x - 12 = 0 

como x1 = i o conjugado x2 = -i é também uma raiz

(x - i)*(x + i) = x² + 1

agora vamos dividir essas duas equações 

(x⁴ - x³ - 11x² - x - 12)/(x² + 1) = x² - x - 12

dessa equação vamos encontrar  as raízes reais x3 e x4 

 x² - x - 12 = 0 

delta
d² = 1 + 48 = 49
d = 7

x3 = (1 + 7)/2 = 4
x4 = (1 - 7)/2 = -3 

S = (-3, 4, i, -i) 

Answer 2

O conjunto solução da equaçao x⁴ - x³ - 11x² - x - 12 = 0, sabendo-se que i é uma de suas raízes é S = {i, -i, 4, -3}

Teorema da raiz complexa conjugada

Temos um teorema em equações polinomiais, que nos diz que se uma equação polinomial tem coeficientes reais, se um número complexo a + bi é raiz da equação, então seu conjugado a - bi também é raiz dessa equação.

Assim, se i é raiz da equação, -i também é. Logo o polinômio pode ser escrito como:

x⁴ - x³ - 11x² - x - 12 = P(x) · (x + i) · (x - i)

x⁴ - x³ - 11x² - x - 12 = P(x) · (x² - i²)

x⁴ - x³ - 11x² - x - 12 = P(x) · (x² - (-1))

x⁴ - x³ - 11x² - x - 12 = P(x) · (x² + 1)

Assim, encontramos esse P(x), fazendo a divisão do polinômio por x² + 1.

Divisão de polinômios na chave

Podemos fazer a divisão dos polinômios na chave, de forma muito parecida com divisão de naturais:

$\begin{equation}\begin{vmatrix}x^4\ \ \ & -\ x^3\ & -\ 11x^2\ & -\ x & \ -\ 12 & \underline{|x^2\ +1}\\\underline{- x^{4}} & & \underline {-x^{2}} & & & x^{2} \ -\ x\ -\ 12\\0 & -x^{3} & -12x^{2} & -x & -12 & \\ & \underline{ +x^{3}} & & \underline{+x} & & \\ & 0 & -12x^{2} & +0 & -12 & \\ & & \underline{+12x^{2}} & & \underline{+12} & \\ & & 0 & & 0 & \end{vmatrix}\end{equation}$

Com P(x) = x² - x - 12, podemos achar as outras raízes, usando a fórmula de Bhaskara com a = 1, b = -1 e c = -12:

Δ = b² - 4ac

x = (-b ± √Δ)/2a

Δ = (-1)² - 4 · 1 · (-12)

Δ = 1 + 48 = 49

x = (-(-1) ± √49)/2·1

x = (1 ± 7)/2

x₁ = (1 + 7)/2

x₁ = 8/2 = 4

x₂ = (1 - 7)/2

x₂ = -6/2 = -3

Veja mais sobre equações polinomiais em:

https://brainly.com.br/tarefa/6258144

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