Question

Determine o conjunto solução da inequação | x²-5x+5<1.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Inequačão modular

Dada a Inequačão :

$\red{ \sf{ | x^2 - 5x + 5 | < 1 } }$

$\iff \sf{ -1 < x^2 - 5x + 5 < 1 }$

Separando a enequacao :

$\sf{ x^2 - 5x + 5 > -1 (I) ~e~ x^2-5x+5 < 1(II) }$

Resolvendo a Inequačão (I) :

$\iff \sf{ x^2 - 5x + 5 + 1 > 0 }$

$\iff \sf{ x^2 - 5x + 6 > 0 }$

Vamos transformar a inequação numa equação :

$\purple{ \sf{ x^2-5x + 6 = 0 } }$

Vamos achar as raízes da equação :

$\iff \sf{ x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 }$

$\iff \sf{ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 }$

$\iff \sf{ (x - 2)(x - 3) ~=~0 }$

$\iff \sf{ x_{1}~=~2~\vee~x_{2}~=~3 }$

Construindo o gráfico, veremos que a função é positiva em: ] -∞ ; 2 [ U ] 3 ; + ∞[

Ou seja :

$\blue{ \iff \boxed{ \sf{ Sol_{(I)}~=~ x \in ] - \infty ; 2 [ \cup ] 3 ; +\infty [ } } }$

Resolvendo a inequação (II) :

$\red{ \sf{ x^2 - 5x + 5 < 1 } }$

$\iff \sf{ x^2 - 5x + 5 - 1 < 0 }$

$\iff \sf{ x^2 - 5x + 4 < 0 }$

Fazendo o mesmo processo da Inequačão (I)

$\iff \sf{ x^2 - 5x + 4 = 0 }$

$\iff \sf{ x^2 - x - 4x + 4 ~=~ 0 }$

$\iff \sf{ x(x - 1) - 4(x - 1) ~=~ 0 }$

$\iff \sf{ (x - 1)(x - 4)~=~ 0 }$

$\iff \sf{ x_{1}~=~1~\vee~x_{2}~=~4 }$

Ao tračar-se um gráfico veremos que:

A função é negativa em: ] 1 ; 4 [

Então:

$\purple{ \iff \boxed{ \sf{ Sol_{(II)}~=~ x\in ]1~;~4[ } } }$

Logo a solução geral vai ser :

$\iff \red{ \sf{ Sol_{total}~=~ Sol_{(I)} \cap Sol_{(II)} } }$

$\iff \sf{ Sol_{total}~=~ \left(] - \infty~;~2[ \cup ] 3 ~;~+\infty[ \right) \cap \left( ] 1~;~4[ \right) }$

$\green{ \iff \boxed{ \boxed{ \sf{ Sol_{total}~=~x \in ] 1 ~;~2[\cup ] 3~ ;~ 4[ } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)