Question

Determine o conjunto solução da inequação: cos(x) < √3/2

Answer 1

Resposta: $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~\dfrac{\pi}{6}\cdot (1+12k)<x<\dfrac{\pi}{6}\cdot (11+12k),~~com~k\in\mathbb{Z}\right\}}$

Explicação passo a passo:

Resolver a inequação trigonométrica:

$\mathsf{cos(x)<\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad cos(x)<cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}$

Temos uma inequação do tipo $\mathsf{cos(x)<cos(a),}$ com $\mathsf{a=\dfrac{\pi}{6}.}$ A solução para este tipo de equação é dada por

$\mathsf{a+k\cdot 2\pi<x<(2\pi-a)+k\cdot 2\pi}$

onde k é um inteiro. Substituindo então, chegamos à solução:

$\mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi<x<\left(2\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi<x<\left(\dfrac{12\pi-\pi}{6}\right)+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi<x<\dfrac{11\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{\pi}{6}+k\cdot \dfrac{12\pi}{6}<x<\dfrac{11\pi}{6}+k\cdot \dfrac{12\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{\pi}{6}\cdot (1+12k)<x<\dfrac{\pi}{6}\cdot (11+12k)}$

onde k é inteiro.

Bons estudos!