Question

Determine o conjunto solução da equação (x+3)*(x-3)*(x+1)*(x-1)+5x²=45

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Vamos começar resolvendo de dois em dois produtos e depois de resolvidos juntamos todos para não ficar muito confuso.

Como podemos notar a maioria dos produtos notáveis dessa questão possuem a classificação de produto da soma pela diferença, tal classificação possui o resultado como o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

$\Large\boxed{(x - y).(x + y) = x {}^{2} - y {}^{2} }$

Aplicando:

1) Produto:

$(x + 3).(x - 3) = x {}^{2} - 3 {}^{2} = \boxed{x {}^{2} - 9}$

2) Produto:

$(x + 1).(x - 1) = {x}^{2} - {1}^{2} = \boxed{x {}^{2} - 1}$

Note que temos que multiplicar esses dois produtos ↑, eles possuirão uma classificação diferente que é quadrado da soma.

$\Large\boxed{(x - y) {}^{2} = x {}^{2} - xy + y {}^{2}}$

Aplicando:

$(x {}^{2} - 9).(x {}^{2} - 1) =( x {}^{2} ) {}^{2} - x {}^{2} - 9x {}^{2} + 9 \\ \</p><p>\boxed{x {}^{4} - 10x {}^{2} + 9}$

Agora sim vamos organizar tudo:

$x {}^{4} - 10x {}^{2} + 9 + 5x {}^{2} = 45 \\ x {}^{4} - 5x {}^{2} + 9 - 45 = 0 \\ \bigstar x {}^{4} - 5x {}^{2} - 36 = 0\bigstar$

Observe que surgiu um equação biquadrada, onde temos que estipular uma incógnita de forma a deixar essa equação no segundo grau. Sabendo disso vamos dizer que x² é igual a "q".

$\large\large x {}^{2} = q$

Substituindo:

$x {}^{4} - 5x {}^{2} - 36 = 0 \\( x {}^{2} ) {}^{2} - 5.x {}^{2} - 36 = 0 \\ (q) {}^{2} - 5q - 36 = 0 \\ \bigstar q {}^{2} - 5q - 36 = 0 \bigstar$

Resolvendo através de Delta e Bháskara:

I) Coeficientes:

$\begin{cases} a = 1 \\ b = - 5 \\ c = - 36\end{cases}$

II) Bháskara:

$\boxed{q = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a} } \\ \\ q = \frac{ - ( - 5) \pm \sqrt{( - 5) {}^{2} - 4.1.( - 36)} }{2.1} \\ \\ q = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144 } }{2} \\ \\ q = \frac{5 \pm \sqrt{169} }{2} \\ \\ q = \frac{5 \pm13}{2} \longrightarrow \begin{cases}q _1 = \frac{5 + 13}{2} \\ q _1 = \frac{18}{2} \\ \boxed{ q_1 = 9} \\ \\ q_2 = \frac{5 - 13}{2} \\ x_2 = \frac{ - 8}{2} \\ \boxed{q_2 = - 4} \end{cases}$

Por fim temos que substituir essas raízes na expressão que criamos no começo da questão.

$x {}^{2} = q_1 \\ x {}^{2} = 9 \\ x = \sqrt{9} \\ \boxed{ x_1 = + 3 \: \: e \: \: - 3} \\ \\ x {}^{2} = q_2 \\ x {}^{2} = - 4 \\ \boxed{x_2= - 2i \: \: ou \: \: + 2i}$

Portanto as raízes dessa equação são:

$\large S = \{ - 3,3, - 2i, 2i \}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️