Question

determine o conjunto solução da equação 
$( \frac{8}{125} {)}^{3x - 1 } = ( \frac{25}{4} {)}^{9x}$

Answer 1

Determine o conjunto solução da equação 


DEIXAR bases iguais

PASSO a PASSO

     8                 25
(-------)³ˣ⁻¹ = (-------)⁹ˣ     veja   (8 = 2x2x2 = 2³)
  125                4                      (125 = 5x5x5 = 5³)

     2³               25
(-------)³ˣ⁻¹ = (---------)⁹ˣ   mesmo que
     5³                4

    2                    25
[(------)³]³ˣ⁻¹ = (--------)⁹ˣ   ( VEJA) potencia de potencia(multiplica)
    5                    4

     2                    25
 (-------)⁹ˣ⁻³  = (----------)⁹ˣ    OUTRO  ( 25 = 5x5 = 5²)   
    5                      4                            (4 = 2x2 = 2²)

     2                    5²
(--------)⁹ˣ ⁻³ = (-------)⁹ˣ   mesmo que
     5                    2²

     2                     5
(-------)⁹ˣ ⁻ ³  = [(-------)²]⁹ˣ   potencia de potencia ( multiplica)
     5                     2     

     2                     5
(------)⁹ˣ⁻³    = (--------)¹⁸ˣ   atenção!!!!!!!!!!! deixar BASES IGUAIS
     5                    2         ( inverte a FRAÇÃO e MUDA o sinal do expoente)

      2                   2
(--------)⁹ˣ⁻³ =  (-------)⁻¹⁸ˣ      ( BASES iguais) (2/5)
     5                     5


9x - 3 = -18x
9x = -18x + 3
9x + 18x = 3
27x = 3
x = 3/27
x = 3/27    ( divide AMBOS por 3)
x = 1/9  ( resposta) 

Answer 2

Para resolver esse problema, temos que usar os conceitos de equação exponencial. Primeira coisa que iremos fazer é reescrever esses carinhas, e fazermos alguma coisa para deixar as bases iguais, para que possamos trabalhar com os expoentes. Então vamos lá, pegando o primeiro termo:

Sabemos que $2^{3} = 8$ assim como $5^{3} =125$, ou seja, podemos reescrever o $(\frac{8}{125})$ assim: $(\frac{2}{5} )^{3}$.Então a gente fica com:

$[(\frac{2}{5} )^{3}]^{3x-1}$ agora a gente pode simplificar isso aí, resolvendo a potência de potência (3)*(3x-1) = 9x-3

$(\frac{2}{5})^{9x-3}$

Pronto! agora vamos deixar esse cara descansando e vamos para o outro:

Podemos perceber que: 25 é a mesma coisa que $5^{2}$ e que 4 é a mesma coisa que $2^{2}$, ou seja, $\frac{25}{4}$ é a mesma coisa que $( \frac{5}{2} )^{2}$ o que deixa nosso segundo termo com algo parecido com isto:

$[(\frac{5}{2} )^{2}]^{9x}$

Mas temos um problema, as bases devem ser iguais, e, elas não estão iguais, uma é $\frac{2}{5}$ e a outra é $\frac{5}{2}$, então para deixar as bases iguais, podemos lembrar que: $( \frac{a}{b})^{n} = (\frac{b}{a})^{-n}$, ou seja, $(\frac{5}{2} )^{1}$ = $(\frac{2}{5})^{-1}$, assim inverteremos o número e teremos algo parecido com isso:

$[[(\frac{2}{5})^{-1} ]^{2}]^{9x}$

Ao resolvermos essa potência de potência, teremos:

$[\frac{2}{5} ]^{-18x}$

O que dar para nossa expressão uma cara mais ou menos assim:

$(\frac{2}{5})^{9x-3} = (\frac{2}{5})^{-18x}$

Pronto, temos as bases iguais, agora basta igualar os expoentes:

9x-3 = -18x

9x+18x = 3

27x=3

x= $\frac{3}{27}$

Simplificando: $\frac{1}{9}$

Simples assim :)