Question

Determine o conjunto solução da equação log⁡(x + 1) + log⁡(x - 8) = 1

Answer 1

Resolvendo a equação $\log(x+1)+\log(x-8)=1,$ obtemos o seguinte conjunto-solução:

$\LargeS=\{9\}.$

Para resolver esta questão, precisamos saber a definição de logaritmo e também algumas de suas propriedades.

Logaritmo

Sejam $a$ e $b$ dois números reais positivos sendo $b\neq 1.$ Denomina-se logaritmo de $a$ na base $b$ o expoente ao qual se deve elevar o número $b$ para se obter o $a.$

Simbolicamente, temos:

$\Large\log_{b} a=x\iff b^x=a.$

Observação: Quando a base é igual a 10, costuma-se omiti-la, que é o caso desta questão.

Uma propriedade dos logaritmos que é usada na resolução desta tarefa é a do logaritmo do produto. Veja-a a seguir.

Logaritmo do produto

Sejam $a,\,b$ e $c$ números reais positivos com $b\neq 1.$ Vale a seguinte propriedade:

$\Large\log_b(a\cdot c)=\log_b a+\log_b c.$

Assim sendo, usando essa propriedade podemos reescrever o primeiro membro da equação dada da seguinte forma:

$\Large\begin{aligned}&\log(x+1)+\log(x-8)=1\implies\\\\&\implies\log[(x+1)\cdot(x-8)]=1.\end{aligned}$

Usando a definição de logaritmo, segue que:

$\Large\begin{aligned}&\log[(x+1)\cdot(x-8)]=1\iff\\\\&\iff(x+1)(x-8)=10.\end{aligned}$

Usando, no primeiro membro, a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, vem que:

$\Large\begin{aligned}&(x+1)(x-8)=10\implies\\\\&\implies x^2-8x+x-8=10\implies\\\\&\implies x^2-7x-8-10=0\implies\\\\&\implies x^2-7x-18=0.\end{aligned}$

Note que chegamos a uma equação do segundo grau na incógnita $x.$ Podemos resolvê-la usando as relações de Girard.

Quais os dois números cuja soma é 7 e o produto é $-18?$

Veja que tais números são $9$ e $-2,$ que correspondem à solução da equação quadrática à qual chegamos.

Porém, a equação inicial é uma logarítmica e, por isso, precisa-se verificar as condições de existência.

Condição de existência

Veja que, pela definição de logaritmo apresentada, deve-se ter:

$\Large\begin{cases}x+1>0\\\\x-8>0\end{cases}$

Esse sistema equivale ao seguinte:

$\Large\begin{cases}x>-1\\\\x>8\end{cases}$

Assim, conclui-se que o valor de $x$ precisa ser maior do que 8. Perceba que, entre os possíveis valores de $x$ encontrados somente o 9 satisfaz essa condição.

Logo, a solução da equação logarítmica dada é

$\Large\boxed{\boxed{S=\{9\}.}}$

Para ver uma questão relacionada, acesse: brainly.com.br/tarefa/46004253.