Question

Determine o conjunto solução da equação exponencial 7^x-³ + 7^x-² + 7^x-¹ = 57 (URGENTE PORFAVOR)

Answer 1

Temos a seguinte equação exponencial:

$\sf 7 {}^{x - 3} +7 {}^{x - 2} + 7 {}^{x - 1} = 57$

Vamos expandir esses elementos de base 7, através dessa "propriedade":

$\boxed{ \sf a{}^{x + y} = a {}^{x} .a {}^{y} }$

Isolando e resolvendo:

$\sf 7 {}^{x}.7 {}^{ - 3} + 7 {}^{x} .7 {}^{ - 2} + 7 {}^{x} .7 {}^{ - 1} = 57 \\ \\ \sf 7 {}^{x} .(7 {}^{ - 3} + 7 {}^{ - 2} + 7 {}^{ - 1} ) = 57 \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{57}{(7 {}^{ - 3} + 7 {}^{ - 2} + 7 {}^{ - 1} )} \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{57}{ \frac{1}{7 {}^{3} } + \frac{1}{7 {}^{2}} + \frac{1}{7} } \\ \\ \sf {7}^{x} = \frac{57}{ \frac{1}{7} .( \frac{1}{7 {}^{2} } + \frac{1}{7} + 1) } \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{57}{ \frac{1}{7} .( \frac{1}{49} + \frac{1.1 + 7.1}{7} ) } \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{57}{ \frac{1}{7} .( \frac{1}{49} + \frac{8}{7}) } \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{57}{ \frac{1}{7}.( \frac{1.7 + 8.49 }{49.7})} \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{57}{ \frac{1}{7}.( \frac{399}{343} )} \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{57}{ \frac{399}{2401} } \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{57}{1} . \frac{2401}{399} \\ \\ \sf 7 {}^{x} = \frac{136857}{399} \\ \\ \sf 7 {}^{x} = 343 \\ \\ \sf \cancel{7} {}^{x} = \cancel{7 }{}^{3} \\ \\ \boxed{\sf x = 3}$

Espero ter ajudado