Question

Determine o conjunto imagem das seguintes funçoes quadráticas
 
a) f(x)=x²-2x-3
b) f(x)=x²-1
c) f(x)=-x²+2x-2
d) f(x)=-x²+4x-6

Answer 1

a) calcular ponto crítico de f(x)
$\displaystyle \frac{df}{dx}=0\implies \frac{df}{dx}=2x-2=0\\\\2x-2=0\implies 2x=2\implies x=1$
logo:
$f(1)=1-2-3=-4$
(1, -4) é o valor mínimo da função (mínimo global)
sua imagem é dada por:
$Im(f)=[-4,\infty)$
ou podemos escrever assim também:
$Im(f)=f\in\mathbb{R}~|~-4 \leq f\ \textless \ \infty$
(f pertence aos reais tal que f é maior ou igual a -4)

b)
De cara sabemos que o valor mínimo dessa função é -1
$Im(f)=[-1,\infty)$

$Im(f)=f\in\mathbb{R}~|~-1 \leq f\ \textless \ \infty$

c)
Ponto crítico de f:
$\displaystyle \frac{df}{dx}=-2x+2=0\\\\x=\frac{2}{2}=\boxed1$
calculando o valor máximo de f:
$f(1)=-1+2-1=0$
ou seja:
$Im(f)=(-\infty,0]\\\\Im(f)=f\in\mathbb{R}~|~-\infty \ \textgreater \ f \geq 0$

d)
Calcular ponto crítico de f:
$\displaystyle \frac{df}{dx}=-2x+4=0\\\\-2x=-4\implies x=\frac{4}{2}=\boxed2$

calcular ponto máximo de f:
$f(2)=-4+8-6=-2$
logo:
$Im(f)=(-\infty,-2]\\\\Im(f)=f\in\mathbb{R}~|~-\infty \ \textgreater \ f \geq -2$