Question

determine o conjunto imagem das seguintes funçoes quadraticas
f ( x ) = x² - 10x + 9

f(x) = -x²+1

Answer 1

Uma equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0, onde a representa o coeficiente que acompanha x²,  b representa o termos que acompanha x e c é o coeficiente independente (número sozinho). Temos como resposta: a)   $Im(f)=\left \{ y\in\mathbb{R}|y \geq -32 \right \}$   e   b) $Im(f)=\left \{ y\in\mathbb{R}|y \leq 2 \right \}$.

Se a > 0, o conjunto imagem de uma equação do segundo grau é dado por:  $\left \{ y\in\mathbb{R}|y \geq y_{v} \right \}$.

Se a < 0, o conjunto imagem de uma equação do segundo grau é dado

por: $\left \{ y\in\mathbb{R}|y \leq y_{v} \right \}$.

E temos ainda que   $y=-\dfrac{\Delta}{4a}$  .

Questão a)

$f(x) =x^{2} -10x+9~~, temos~que~a=1 > 0, ~e~,~portanto: \\ \\ \\y=-\dfrac{\Delta}{4a} ~~~~\to ~~~~ y=-\dfrac{((-10)^{2} -4\cdot 1\cdot 9)}{2\cdot 1} ~~~\to ~~~y=-\dfrac{64}{2}~~~\to ~~~\boxed{y=-32}$

Desta forma, a imagem da equação é dada por  $Im(f)=\left \{ y\in\mathbb{R}|y \geq -32 \right \}$.

Questão b)

$f(x)=-x^{2} +1~, temos~que~a < 0,~e~portanto:\\ \\\\ y=-\dfrac{\Delta}{4a} ~~~~\to ~~~~ y=-\dfrac{(0^{2} -4\cdot (-1)\cdot 1)}{2\cdot (-1)} ~~~\to ~~~y=\dfrac{-4}{-2}~~~\to ~~~\boxed{y=2}$

Desta forma, a imagem da equação é dada por  $Im(f)=\left \{ y\in\mathbb{R}|y \leq 2 \right \}$.

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