Question

Determine o conjunto imagem das funções quadráticas definidas a seguir.

a) f(x) = 3x ^ 2 - 2x - 1

b) g(x) = - 2x ^ 2 + 1
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Answer 1

Resposta:

As imagens das funções são:

a) Im(f) = {y∈R | y ≥ - 4 / 3}

b) Im(g) = {y∈R | y ≤ 1}

Explicação passo a passo:

Para determinar o conjunto imagem de uma função quadrática devemos determinar as coordenadas do vértice, pois este ponto determina o máximo ou mínimo da função.

V = (xv, yv)

xv = -b / 2a

yv basta substituir xv na função.

a) f(x) = 3x² - 2x -1

xv = -(-2)/(2.3)

xv = 2/6

xv = 1/3

Substituindo na função temos:

yv = 3.(1/3)² - 2.(1/3) - 1

yv = 1/3 - 2/3 - 1

yv = - 4 / 3

Como a concavidade é voltada para cima a = 3 > 0, esse ponto é mínimo e portanto a imagem é dada pelo conjunto:

Im(f) = {y∈R | y ≥ - 4 / 3}

b) g(x) = - 2x² + 1

​xv = - 0 / (2.(-2))

xv = 0

Substituindo na função temos:

yv = -2.0² + 1

yv = 1

Como a concavidade é voltada para baixo a = -2 < 0, esse ponto é máximo e portanto a imagem é dada pelo conjunto:

Im(g) = {y∈R | y ≤ 1}