Question

Determine o conjunto imagem da seguinte função quadrática:
y = x² - 4​

Answer 1

✅ Tendo resolvido todos os cálculos e análises, concluímos que o conjunto imagem da referida função quadrática - função do segundo grau - é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I_{m} = \{y\in\mathbb{R}\:|\:y\geq-4\}\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Seja a função quadrática:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = x^{2} - 4\end{gathered}$

Que também podemos escrever como:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{2} - 4\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                       $\Large\begin{cases}a = 1\\b = 0\\c = -4 \end{cases}$    

Para encontrar o conjunto imagem da função quadrática, devemos:

• Calcular a ordenada do vértice da parábola:

        Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} Y_{V} = -\frac{\Delta}{4a}\end{gathered}$  

         Então, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} Y_{V} = -\frac{\Delta}{4a}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = -\frac{(b^{2} - 4ac)}{4a}\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = - \frac{\left[0^{2} - 4\cdot1\cdot(-4)\right]}{4\cdot1}\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{\left[0 + 16\right]}{4}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = - \frac{16}{4}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -4\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:Y_{V} = -4\end{gathered}$

• Analisar o sinal do coeficiente de "a":

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:a > 0\Longrightarrow \textrm{Concavidade}\:\:\:\cup\end{gathered}$

        Desta forma, o vértice da função é o ponto de mínimo.

Portanto, o conjunto imagem "Im" da referida função é:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} I_{m} = \{y\in\mathbb{R}\:|\:y\geq-4\}\end{gathered} }$

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