Question

Determine o conjunto imagem da função quadrática f(x) = x² - 10x + 9 *

a) y ≥ -4/3

b) y ≤ 1

c) y ≥ -9/4

d) y ≥ -9

c) y ≥ - 16​

Answer 1

✅ Tendo resolvido todos os cálculos e análises, concluímos que o conjunto imagem da referida função quadrática - função do segundo grau - é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I_{m} = \{y\in\mathbb{R}\:|\:y\geq-16\}\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Seja a função quadrática:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{2} - 10x + 9\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                       $\Large\begin{cases}a = 1\\b = -10\\c = 9 \end{cases}$    

Para encontrar o conjunto imagem da função quadrática, devemos:

• Calcular a ordenada do vértice da parábola:

        Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} Y_{V} = -\frac{\Delta}{4a}\end{gathered}$  

         Então, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} Y_{V} = -\frac{\Delta}{4a}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = -\frac{(b^{2} - 4ac)}{4a}\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = - \frac{\left[(-10)^{2} - 4\cdot1\cdot9\right]}{4\cdot1}\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{\left[100 - 36\right]}{4}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = - \frac{64}{4}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -16\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:Y_{V} = -16\end{gathered}$

• Analisar o sinal do coeficiente de "a":

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:a > 0\Longrightarrow \textrm{Concavidade}\:\:\:\cup\end{gathered}$

        Desta forma, o vértice da função é o ponto de mínimo.

Portanto, o conjunto imagem "Im" da referida função é:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} I_{m} = \{y\in\mathbb{R}\:|\:y\geq-16\}\end{gathered} }$

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