Question

Determine o conjunto dos valores reais de x que satisfazem cada uma das equações.
$a) {2}^{x + 3} + {2}^{x - 2} = 66$
$b) \: {9}^{x} - 10 \times {3}^{x} = - 9$
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Determine o conjunto dos valores reais de x que satisfazem cada uma das equações.

2ˣ⁺³ + 2ˣ⁻² = 66      MESMO que

2ˣ.2³ + 2ˣ.2⁻² = 66     fazer SUBSTITUIÇÃO  (2ˣ = y))))))))

(y)2³ + (y).2⁻² = 66    vejaaa  (2x2x2= 8)

(y)8   + (y).2⁻² = 66

  8y   + y.2⁻² = 66   ( vejaaaaa( 2⁻²   = 1/2²) = (1/2x2 = 1/4)

             1

8y + y-------- = 66         mesmo que

            4

           y(1)

8y + ---------- = 66

           4

         1y

8y + ------- = 66  SOMA com fração faz mmc = 4

         4

4(8y) + 1(1y) = 4(66)

-----------------------------   FRAÇÃO com (=) igualdade despreza o denominador

             4

4(8y) + 1(1y) = 4(66)

32y + 1y =  264

33y = 264

y = 264/33

y = 8

voltando na SUBSTITUIÇÃO

2× = y

y = 8

2× = 8               ( 8 = 2x2x2 = 2³)

2× = 2³

x = 3

9× - 10x3ˣ = - 9                  (9 = 3x3 = 3²)

(3²)ˣ - 10.3ˣ = - 9    mesmo que

(3ˣ)² - 10.3ˣ = - 9     fazer SUBSTITUIÇÃO (3ˣ = Y)

(y)²  - 10(y)  = - 9

y² - 10y = - 9     ( zero da FUNÇÃO)  olha o sinal

y² - 10y + 9 = 0

equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0

y² - 10y + 9 = 0

a = 1

b = - 10

c = 9

Δ = b² - 4ac

Δ = (-10)² - 4(1)(9)

Δ = + 10x10 - 36

Δ = + 100 - 36

Δ = + 64 ========> √Δ = √64 = √8x8 = √8² = 8)

se

Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)

(Baskara)

      - b ±√Δ

y = -------------

          2a

       -(-10) - √64         + 10 - 8         + 2

y' = ------------------- = -------------- =--------- = 1

              2(1)                 2                  2

e

         - (-10) + √64      + 10 + 8        + 18

y'' = --------------------- = ------------- = ------- = 9

                 2(1)                   2              2

voltando na SUBSTITUIÇÃO

3× = y

y' = 1

3× = y

3× = 1      ( QUALQUER número elevado a ZERO = 1)

3× = 3º

x = 0

e

y'' = 9

3× = y

3× = 9                (9 = 3x3 = 3²)

3× = 3²

x = 2

assim

x = 0

x = 2