Matemática, perguntado por edson15841, 10 meses atrás

Determine o conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log2 (2x + 5) - log2 (3x - 1) >1

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii

Em uma inequação logarítmica, a primeira coisa que devemos fazer é lembrar que:

$\sf log_{b}A > k \rightarrow \begin{cases} \sf A > B {}^{k}, \: se \: \: b > 1 \\ \sf A < B {}^{k} , \: se \: \: 0 < b < 1\end{cases}$

Observando o Log que a questão fornece, podemos notar que a base é maior que "0", então o sinal permanece do jeito que está.

A inequação é dada por:

$\sf log_{2}(2x + 5) - log_{2}(3x - 1) > 1$

Tendo observado aquela restrição, partimos para a segunda maior preocupação, que é a condição de existência, onde o logaritmando deve ser maior que "0".

Condição de existência:

$\begin{cases} \sf 2x + 5 > 0 \\ \sf 2x > - 5 \\ \sf x > - \frac{ 5}{2} \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{cases} \sf 3x - 1 > 0 \\ \sf 3x > 1 \\ \sf x > \frac{1}{3} \end{cases}$

Agora podemos partir para o cálculo da expressão:

Note que temos uma subtração de logs, que através da propriedade podemos transformar em um quociente de logs.

$\boxed{ \sf log_{a}(b) - log_{a}(c) = log_{a} \left( \frac{b}{c} \right) }$

Aplicando:

$\sf log_{2}(2x + 5) - log_{2}(3x - 1) > 1 \\ \\ \sf log_{2} \left ( \frac{2x + 5}{3x - 1} \right) > 1$

Agora por definição de logaritmo, podemos encontrar o valor de "x":

$\boxed{\sf log_{a}(b) = k \: \: \therefore \: \: a {}^{k} = b}$

Aplicando:

$\sf log_{2}\left( \frac{2x + 5}{3x - 1} \right) > 1 \\ \\ \sf \frac{2x + 5}{3x - 1} > 2 {}^{1} \\ \\ \sf \frac{2x + 5}{3x - 1} > 2$

Nesse momento, poderíamos multiplicar meio pelos extremos, mas note que temos que fazer uma restrição sobre o denominador, pois se o mesmo for menor que 0 e igual a "0", teremos duas complicações, uma é o logaritmando negativo e a outra é uma divisão por "0", por esse motivo, vamos dizer que o denominador tem que ser maior que "0", não será necessário calcular isso, pois bate com a condição de existência, então podemos usar tal cálculo.

Multiplicando meio pelos extremos:

$\sf 2x + 5 > 2.(3x - 1) \\ \sf 2x + 5 > 6x - 2 \\ \sf 6x - 2x > 5 + 2 \\ \sf 4x = 7 \\ \sf x = \frac{7}{4}$

Esse resultado está de acordo com a condição de existência, a resposta forma será dada por:

$\boxed{\sf S = \left \{ \frac{1}{3} < x < \frac{7}{4} \right \}}$

Espero ter ajudado

Respondido por silvapgs50

Utilizando as propriedades dos logaritmos, concluímos que, os valores reais x que satisfazem a inequação são $1/3 < x < 7/4$

O logaritmo da diferença

Uma das propriedades dos logaritmos afirma que a diferença de dois logaritmos é igual ao logaritmo do quociente dos logaritmandos, considerando todos os logaritmos escritos na mesma base, ou seja:

$\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$

Utilizando essa propriedade podemos simplificar a inequação dada na desigualdade:

$\log _2 \dfrac{2x + 5}{3x - 1} >1$

Resolvendo a inequação

Temos que o valor de $\log_2 2 = 1$ , logo, o valor do logaritmando do logaritmo da expressão obtida é igual a 2. Dessa forma, podemos escrever a inequação na forma:

$\log_2 \frac{2x+5}{3x-1} > \log_2 2$

Resolvendo essa desigualdade, temos:

$\frac{2x+5}{3x-1} > 2$

$\frac{2x+5}{3x-1} - 2 > 0$

$\frac{-4x+7}{3x-1}>0$

Para que essa inequação seja verdadeira, devemos ter que as expressões no numerador e no denominador possuem o mesmo sinal. Observe que $-4x + 7$ representa uma reta decrescente com raiz 7/4 e que $3x - 1$ é uma reta crescente com raiz 1/3. Para melhor entendimento observe o gráfico em anexo.