Question

Determine o conjunto de valores reais x para que seja possível existir os logaritmos:

Answer 1

 Veja as condições

$\log_BA= \\ \\ A \ \textgreater \ 0 \\ B\ \textgreater \ 0~~e~~B \neq 1$ 

a)
( I )  x - 3 > 0       ( II ) x >0   e  x ≠ 1
        x >  3

$(I)~~~~~~-------\circ^3++++ \\ (II)-----\circ^0+++++++++ \\ (I)\bigcap(II)------\circ^3++++++ \\ \\ \{x\in R/x\ \textgreater \ 3\}$ 

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b)
(I) x + 4 > 0                    (II) x - 1 > 0       (III) x - 1 ≠ 1 
    x > -4                               x > 1                   x ≠ 2

$(I)---\circ^{-4}+++++++++ \\ (II)-------\circ^1+++++ \\ (III)++++++++++\circ^2++ \\ \\ (I)\bigcap(II)\bigcap(III)-----\circ^1+++\circ^2++++++ \\ \\ \{\in R/x\ \textgreater \ 1~~com~~x \neq 2\}$ 

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c)
x - 5 > 0    e  x - 5 ≠ 1
x > 5               x ≠ 1 + 5
                        x ≠ 6

{ x ∈ R / x > 5 com x ≠ 6 }

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Mahhmarques, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o conjunto de valores reais de "x" para que seja possível existir os seguintes logaritmos, que vamos chamar, cada um, de um certo "y", apenas para deixá-los igualados a alguma coisa:

a)

y = logₓ (x-3)

Agora veja: vamos para as condições de existência quanto à base "x" e quanto ao logaritmando (x-3). Assim teremos:

a.i) Quanto à base "x": toda base de logaritmo deverá ser positiva (>0) e, além disso, deverá ser diferente de "1". Assim, quando à base "x" deveremos ter estas condições de existência:

x > 0; e ≠ 1 ---- Estas são as condições de existência quanto à base "x".

a.ii) Quanto ao logaritmando (x-3): todo logaritmando terá que ser, necessariamente, positivo (>0). Assim, deveremos ter que o logaritmando que:

x - 3 > 0
x > 3 ----- Esta é a condição de existência para o logaritmando.

a.iii) Agora veja: entre "x" ser maior do que zero e diferente de "1" (condições de existência da base ) e ser maior do que "3" (condição de existência do logaritmando), vai prevalecer esta última hipótese, pois sendo x > 3 já o será maior do que zero e diferente de "1". Logo, a condição de existência para o logaritmo do item "a" será:

x > 3 ---- Esta é a resposta para a questão do item "a".

Assim, se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | x > 3}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser dado assim, o que é a mesma coisa:

S = (3; +∞).

b)

y = log₍ₓ₋₁₎ (x+4)

b.i) Para a base (x-1): ela terá que ser positiva (>0) e além disso, terá que ser diferente de "1". Assim, teremos para a base (x-1):

x-1 > 0
x > 1

e

x-1 ≠ 1
x ≠ 1+1
x ≠ 2

Assim, para a base (x-1) deverá ter isto:

x > 1; e x ≠ 2 ---- estas são as condições de existência da base (x-1).

b.ii) Para o logaritmando (x+4), deveremos ter que ele seja, necessariamente, positivo. Assim:

x + 4 > 0
x > - 4 ---- Esta é a condição de existência do logarimando (x+4).

b.iii) Assim, entre "x" ser maior do que "1" e "x" ser diferente de "2" (condições de existência da base) e "x" ser maior do que "-4" (condição de existência do logaritmando), vai prevalecer as duas primeiras hipóteses, pois "x" sendo maior do que "1" e diferente de "2" já o será maior do que "-4". Então as condições de existência do logaritmo do item "b" serão estas:

x > 1 e x ≠ 2 ---- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo?

S = {x ∈ R | x > 1 e x ≠ 2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado assim, o que é a mesma coisa:

S = (1; 2) ∪ (2; +∞).

c)

y = log₍ₓ₋₅₎ (10)

c.i) Quanto à base (x-5), deveremos ter que ela deverá ser positiva (>0) e diferente de "1". Assim, deveremos ter que:

x - 5 > 0
x > 5
e
x-5 ≠ 1
x ≠ 1+5
x ≠ 6

Assim, quanto à base (x-5), deveremos ter que:

x > 5 e x ≠ 6 ----- Estas são as condições de existência para a base (x-5).

c.ii) Quanto ao logaritmando "10" não temos nenhuma preocupação, pois ele sendo "10" já está garantindo a condição de existência de o logaritmando ser positivo (veja que "10" é positivo).

c.iii) Assim, só teremos como condições de existência para o logaritmo do item "c" as condições de existência da base, que são:

x > 5 e x ≠ 6 ----- Esta é a resposta para a questão do item "c".

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | x > 5 e x ≠ 6}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado assim, o que é a mesma coisa:

S = (5; 6) ∪ (6; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.