Question

Determine o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão $\dfrac{( x^{2} -4). \sqrt{x}}{ \sqrt{ x^{2} - 5x + 6 } }$ resulta um número real.

Eu travei nessa questão, podem me dar uma ajuda?

Answer 1

Para a expressão ter uma solução no conjunto dos números reais é necessário que:
→ Todas as raízes sejam maior ou igual a zeros.
→ O denominador seja diferente de zero.

(Todas as raízes sejam maior ou igual a zeros)
$\bullet\sqrt x \geq 0\\\\ (\sqrt{x})^2 \geq 0^2\\\\ x \geq 0$

$\bullet\sqrt{x^2-5x+6} \geq 0\\\\ (\sqrt{x^2-5x+6})^2 \geq 0^2\\\\ x^2-5x+6 \geq 0\\\\ \left[\begin{array}{c} x^2-5x+6 = 0\\ (x-2)(x-3) = 0\\\\ (x-2) = 0\\ \boxed{x = 2}\\\\ (x-3)=0\\ \boxed{x = 3} \end{array}\right]x^2-5x+6 \geq 0\to\{x\in R | x \leq 2\lor x \geq 3}\}$

(O denominador seja diferente de zero)
$\sqrt{x^2-5x+6} \neq 0\\\\ (\sqrt{x^2-5x+6})^2 \neq 0^2\\\\ x^2-5x+6 \neq 0\\\\ \left[\begin{array}{c} x^2-5x+6 \neq 0\\ (x-2)(x-3) \neq 0\\\\ (x-2)\neq0\\ \boxed{x \neq 2}\\\\ (x-3)\neq0\\ \boxed{x \neq 3} \end{array}\right]x^2-5x+6 \neq 0\to\{x\in R | x \neq 2\land x \neq 3}\}$

o domínio da função deve atender todos os critérios$\{x\in R | x \geq 0\} \land \{x\in R | x \neq 2\land x \neq 3}\} \land \{x\in R | x \leq 2\lor x \geq 3}\}=\\\\ \{x\in R | x \neq 2\land x \neq 3}\} \land \{x\in R |0 \leq x \leq 2\lor x \geq 3}\}=\\\\ \boxed{\{x\in R |0 \leq x \ \textless \ 2\lor x \ \textgreater \ 3\}}$