Question

Determine o conjunto das soluções reais da equação:

$3cossec^2(\frac{x}{2})-tg^2(x)=1$

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica:

     3 cossec² (x/2) – tg² x = 1


Primeiro, reescrevemos convenientemente os termos da equação:

     3 cossec² (x/2) – tg² x – 1 = 0

     3 cossec² (x/2) – (tg² x + 1) = 0


Mas  tg² x + 1 = sec² x. Assim, a equação fica

     3 cossec² (x/2) – sec² x = 0


Como a cossecante é o inverso do seno, e a secante é o inverso do cosseno, podemos multiplicar ambos os lados por  sen² (x/2) · cos² x, pois aqui essa expressão é sempre diferente de zero (condição de existência):

     [3 cossec² (x/2) – sec² x] · sen² (x/2) · cos² x = 0 · sen² (x/2) · cos x

     3 cossec² (x/2) · sen² (x/2) · cos² x – sec² x · sen² (x/2) · cos² x = 0

     3 cos² x · [cossec² (x/2) · sen² (x/2)] – sen² (x/2) · [sec² x · cos² x] = 0


As expressões entre colchetes valem  1, pois são produtos de funções recíprocas. Então, a equação fica

     3 cos² x · [1] – sen² (x/2) · [1] = 0

     3 cos² x – sen² (x/2) = 0

     (√3 cos x)² – [sen (x/2)]² = 0


Fatorando a diferença de quadrados no lado esquerdo via produtos notáveis,

     [√3 cos x – sen (x/2)] · [√3 cos x + sen (x/2)] = 0


Usando uma das identidades do cosseno do arco duplo

      •   cos x = 1 – 2 sen² (x/2)    ⇔    sen² (x/2) = (1/2) · (1 – cos x)


a equação fica

     [√3 · (1 – 2 sen² (x/2)) – sen (x/2)] · [√3 · (1 – 2 sen² (x/2)) + sen (x/2)] = 0

     [√3 – 2√3 sen² (x/2) – sen (x/2)] · [√3 – 2√3 sen² (x/2) + sen (x/2)] = 0


Para simplificar mais os radicais, podemos multiplicar os dois lados por  (– √3) · (– √3):

     (– √3) · [√3 – 2√3 sen² (x/2) – sen (x/2)] · (– √3) · [√3 – 2√3 sen² (x/2) + sen (x/2)] = 0

     [– 3 + 6 sen² (x/2) + √3 sen (x/2)] · [– 3 + 6 sen² (x/2) – √3 sen (x/2)] = 0

     [6 sen² (x/2) + √3 sen (x/2) – 3] · [6 sen² (x/2) – √3 sen (x/2) – 3] = 0


Fazendo uma mudança de variável,

     sen(x/2) = t,     – 1 ≤ t ≤ 1,   t ≠ 0   e   | t | ≠ 1/√2


a equação fica

     (6t² + √3 · t – 3) · (6t² – √3 · t – 3) = 0

     6t² ± √3 · t – 3 = 0          (i)


Acima, temos uma equação produto, cujos fatores são polinômios quadráticos na variável  t. Vamos resolvê-las separadamente e depois fazer a união de todas as soluções:


•   6t² + √3 · t – 3 = 0     ———>    a = 6;  b = √3;  c = – 3

     Δ = b² – 4ac

     Δ = (√3)² – 4 · 6 · (– 3)

     Δ = 3 + 72

     Δ = 75

     Δ = 5² · 3


     t = (– b ± √Δ)/(2a)

     t = [– √3 ± √(5² · 3)]/(2 · 6)

     t = (– √3 ± 5√3)/12

     t = (– √3 – 5√3)/12     ou     t = (– √3 + 5√3)/12

     t = – (6√3)/12     ou     t = (4√3)/12

     t = – (√3)/2     ou     t = (√3)/3          (ii)


•   6t² – √3 · t – 3 = 0     ———>    a = 6;  b = – √3;  c = – 3

     Δ = b² – 4ac

     Δ = (– √3)² – 4 · 6 · (– 3)

     Δ = 3 + 72

     Δ = 75

     Δ = 5² · 3


     t = (– b ± √Δ)/(2a)

     t = [– (– √3) ± √(5² · 3)]/(2 · 6)

     t = (√3 ± 5√3)/12

     t = (√3 – 5√3)/12     ou     t = (√3 + 5√3)/12

     t = – (4√3)/12     ou     t = (6√3)/12

     t = – (√3)/3     ou     t = (√3)/2          (iii)

—————

Unindo as soluções obtidas em  (ii)  e  (iii), tiramos que

     t = ± (√3)/2     ou     t = ± (√3)/3


que é equivalente a escrever

     | t | = (√3)/2     ou     | t | = (√3)/3


ou ainda,

     t² = 3/4     ou     t² = 1/3


Substituindo de volta para a variável  x, obtemos

     sen² (x/2) = 3/4     ou     sen² (x/2) = 1/3


Use novamente a identidade do cosseno do arco duplo para  sen² (x/2):

     (1/2) · (1 – cos x) = 3/4     ou     (1/2) · (1 – cos x) = 1/3

     1 – cos x = 3/2     ou     1 – cos x = 2/3

     cos x = 1 – (3/2)     ou     cos x = 1 – (2/3)

     cos x = – 1/2     ou     cos x = 1/3          (iv)


Agora, temos duas equações trigonométricas na forma elementar. A solução para a equação da forma

     cos x = p

é expressa por

     x = ± arccos(p) + k · 2π,     onde  – 1 ≤ p ≤ 1,  com  k  inteiro.


Então, por  (iv), devemos ter

     x = ± arccos(– 1/2) + k · 2π     ou     x = ± arccos(1/3) + k · 2π

     x = ± 2π/3 + k · 2π     ou     x = ± arccos(1/3) + k · 2π     <———    soluções

com  k  inteiro.


Bons estudos! :-)