Question

Determine o comprimento da curva dada:
$\alpha(t) = \sqrt{2}ti + e^{t}j + e^{-t}k, 0\leq t\leq 1$

Ajuda por favor!

Answer 1

Resposta:

O comprimento da curva é $\approx 2,35$ unidades

Explicação passo a passo:

$\alpha \left(t\right)\:=\:\sqrt{2}ti\:+\:e^tj\:+\:e^{-t}k,\:0\le \:t\le \:1$

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

$\alpha \left(t\right)\:=\:x\left(t\right)i\:+\:y\left(y\right)j\:+\:z\left(t\right)k$

O comprimento de curva de um ponto   até um ponto  é dado por:

$L=\int _a^b\:\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt$

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

$\left \{ {{\alpha \left(t\right)\:=\:\sqrt{2}ti\:+\:e^tj\:+\:e^{-t}k} \atop {\:0\le \:t\le \:1}} \right.$

Vamos utilizar a formula e determinar o comprimento. Então, primeiro, derivando a função dada.

$\alpha' (t)=\sqrt{2} i+e^tj+-e^{-t}k$

Isso nos dá que

$|\alpha' (t)|=\sqrt{(\sqrt{2})^{2} i+(e^t)^{2}j+(-e^{-t})^{2}k} \\\\=\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}} \\\\=(\sqrt{e^{t}+e^{-t}} )^2\\\\=e^{t}+e^{-t}$

E então, para o intervalo $\:0\le \:t\le \:1$

$L=\int\limits^1_0 {|\alpha' (t)|} \, dt\\\\=\int\limits^1_0 {(e^t+e^{-t})} \, dt\\\\={[e^t-e^{-t}]}^1_{0}\\\\=(e^1-e^{-1})-(e^0-e^{0})\\\\=(e-e^{-1})-(1-1)\\\\=e-\frac{1}{e} \\\\\approx 2,35$