Question

Determine o comprimento da corda determinada pela intersecção da reta x + y - 1 com a circunferência x2+y2+2x+2y - 3= 0.


Não sei por onde começar nessa questão. Consegui chegar ao x do centro, que é -1 e ao y centro, que é -1. O que devo fazer para chegar à resposta?

Answer 1

Seja a circunferência λ: x²+y²+2x+2y - 3 = 0 e a reta r: x + y - 1 = 0 
Como o exercício disse que r intercepta  λ  determinando uma corda. Vamos chamar essa corda de AB. AB são dois pontos comuns a reta r e λ . 
Admita que a intersecção de λ com r seja nos pontos A e B.
Basta descobrir no plano cartesiano quem é A e B e calcular dAB.

Para isso temos que resolver o sistema abaixo:
x²+y²+2x+2y - 3= 0 (i) 
x + y - 1 = 0 (ii) 

De (ii) tiramos que:
y = 1 - x (iii) 

Faça (iii) em (i) 

x²+(1-x)²+2x+2(1-x) - 3= 0 
x² + 1 - 2x +x² + 2x + 2 - 2x - 3 = 0 
2x² - 2x = 0 
2x(x -1) = 0 
Então fica: 2x = 0 ou (x -1) = 0 
2x = 0 ⇔ x = 0 
x - 1 = 0 ⇔ x = 1 

Quando x = 0 ⇒ y = 1 -x ⇔ y = 1 - 0 ⇔ y = 1 ⇒ A = (0,1)
Quando x = 1 ⇒ y = 1 -x ⇔ y = 1 - 1 ⇔ y = 0 ⇒ B = (1,0)

Calculando o comprimento da corda AB:

dAB = √(0 - 1)² + (1 - 0)² 
dAB = √1 + 1 = √2
dAB = √2 u.c (u.c ⇒ unidades de comprimento)

Segue em anexo o gráfico dessa situação.

*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*
Sepauto - SSRC
07/05/2017
*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*