Question

Determine o comprimento da circunferência cuja equação é x² +y² –6x– 2y –6= 0.

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{x^2 + y^2 - 6x - 2y - 6 = 0}$

$\mathsf{x^2 -6x +(9 - 9) + y^2 - 2y + (1 - 1) - 6 = 0}$

$\mathsf{(x^2 -6x + 9) - 9 + (y^2 - 2y + 1) - 1 - 6 = 0}$

$\mathsf{(x - 3)^2- 9 + (y - 1)^2 - 1 - 6 = 0}$

$\mathsf{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 - 16 = 0}$

$\mathsf{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 16}$

$\mathsf{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}$

$\mathsf{r^2 = 16}$

$\mathsf{r = \sqrt{16}}$

$\mathsf{r = 4\:u.c}$

$\mathsf{C = 2.\pi .r}$

$\mathsf{C = 2.\pi .4}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{C = 8\pi\:u.c}}}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o comprimento da referida circunferência é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf C_{C} = 8\pi\:u\cdot c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação da circunferência:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda: x^{2} + y^{2} - 6x - 2y - 6 = 0\end{gathered}$

Para calcular o comprimento da circunferência devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} C_{C} = 2\pi r\end{gathered}$

Observe que para utilizar a equação "I" faz-se necessário o valor do raio. Para isso, devemos atentar que a forma geral da equação da circunferência no plano cartesiano é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} Ax^{2} + By^{2} + Cxy + Dx + Ey + F = 0\end{gathered}$

A partir da equação "II" podemos recuperar o valor do raio executando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} r = \sqrt{\frac{D^{2} + E^{2} - 4AF}{4A^{2}}}\end{gathered} }$

Substituindo "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C_{C} = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{D^{2} + E^{2} - 4AF}{4A^{2}}}\end{gathered} }$

Substituindo os valores na equação "IV", temos:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C_{C} = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{(-6)^{2} + (-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-6)}{4\cdot1^{2}}}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{36 + 4 + 24}{4}}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{64}{4}}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 2\pi\cdot\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{4}}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = {\!\diagup\!\!\!\!2}\pi\cdot\frac{8}{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 8\pi\:u\cdot c\end{gathered}$

✅ Portanto, o comprimento da circunferência é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} C_{C} = 8\pi\:u\cdot c\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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