Question

Determine o cojunto solução da equação senx + 2 senx cosx=0

Answer 1

$\mathrm{sen\,}x+2\mathrm{\,sen\,}x\cos x=0\\ \\ \mathrm{sen\,}x\,(1+2\cos x)=0\\ \\ \mathrm{sen\,}x=0\;\;\text{ ou }\;\;1+2\cos x=0$


Para encontrar a solução da equação inicial, devemos resolver separadamente as duas equações acima.

$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}x=0\\ \\ x=0+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\pi+k\cdot 2\pi$

onde $k$ é um número inteiro.


$\bullet\;\;1+2\cos x=0\\ \\ 2\cos x=-1\\ \\ \cos x=-\dfrac{1}{2}\\ \\ x= \pm \dfrac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi$

onde $k$ é um número inteiro.


Portanto, a solução da equação inicial é a união das duas soluções encontradas acima:

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x=0+k\cdot 2\pi\;\text{ ou }\;x=\pi+k\cdot 2\pi\;\text{ ou }\;x=\pm \dfrac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi,\right. \right .\\ \\ \\ \left.k \in \mathbb{Z}\right\}$