Question

Determine o coeficiente angular e a equação da reta t, tangente ao gráfico de
f(x) = sen x, no ponto de abscissa X0 = pi/3

Answer 1

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x) em x = x₀ é dado pela derivada de f(x) avaliada em x = x₀

Com isso, sabemos que a reta tangente ao gráfico no ponto (x₀,y₀) possui coeficiente angular m = f'(x₀)

Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = x₀ é:

$\boxed{\boxed{y=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})}}$
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Avaliando f(x) em x = π/3:

$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=sen\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Achando a derivada de f:

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}sen(x)~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{f'(x)=cos(x)}}$

Avaliando f'(x) em x = π/3:

$f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$

Então, temos que a reta tangente ao gráfico de f(x) = sen(x) no ponto (π/3, √3/2) possui inclinação m = 1/2.

Portanto, a equação dessa reta é:

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})\\\\\boxed{\boxed{y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}}$