Question

Determine o coeficiente angular da reta s, perpendicular a reta r que passa pelos pontos A(1, 3) e B(4, 6).

Answer 1

Resposta:

resposta:         $m_{s} = -1$

Explicação passo a passo:

Se as retas "r" e "s" são perpendiculares, então elas se cruzam formando um ângulo reto, ou seja, elas se cruzam formando um ângulo de 90°. Em outras palavras, "r" é perpendicular à "s" se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares resultarem na unidade negativa, ou seja:

            $m_{r} .m_{s} = -1$

Para encontrar o coeficiente angular da reta "s" temos que:

1º Montar a equação reduzida da reta 'r':

Sejam os pontos:

                 $A(1, 3)\\B(4, 6)$

Pertencentes à reta "r".

Para encontrar a equação da reta r, devemos igualar o determinante da matriz M igual a 0.

Se a matriz M é:

 $M = \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\Ax&Ay&1\\Bx&By&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\1&3&1\\4&6&1\end{array}\right]$

Igualando o determinante de M a 0 temos:

                                                     $Det(M) = 0$

$x.3.1 + y.1.4 + 1.1.6 - y.1.1 - x.1.6 - 1.3.4 = 0$

                          $3x + 4y + 6 - y - 6x - 12 = 0$

                                              $-3x +3y - 6 = 0$

Chegamos à equação geral da reta "r" que é:

          $r : -3x + 3y - 6 = 0$

Transformando a equação geral em reduzida temos:

           $-3x + 3y - 6 = 0$

                            $3y = 3x + 6$

                              $y = \frac{3x}{3} + \frac{6}{3}$

                              $y = x + 2$

Chegamos à equação reduzida da reta "r" que é:

                 $r: y = x + 2$

2º Encontrar o coeficiente angular da reta 'r':

Se a equação reduzida da reta é da forma:

                  $y = mx + n$

Onde "m" é o coeficiente angular, então o coeficiente angular de r é:

                       $m_{r} = 1$

3º Calcular o coeficiente angular da reta 's':

Se:

                  $m_{r} .m_{s} = -1$

Então:

                     $m_{s} = \frac{-1}{m_{r} }$

Então:

                 $m_{s} = \frac{-1}{1} = -1$

Portanto, o coeficiente angular da reta "s" é:

                      $m_{s} = -1$

Isso significa dizer que TODAS as retas que cruzam perpendicularmente a reta "r" possuem coeficiente angular igual a -1.

Para provar este fato vamos montar a equação reduzida da reta "s" passando pelo ponto A. Para isso, basta montar a equação a partir da fórmula ponto declividade.

                 $y - y_{A} = m_{s} (x - x_{A} )$

Montando a equação da reta "s" passando por A(1, 3):

                   $y - 3 = -1.(x - 1)$

                   $y - 3 = -x + 1$

                         $y = -x + 1 + 3$

                         $y = -x + 4$

Portanto, a equação da reta "s" pelo ponto A é:

                       $s: y = -x + 4$

Saiba mais sobre retas perpendiculares, acessando:

https://brainly.com.br/tarefa/46822225

Veja também a solução gráfica da referida questão: