Question

Determine o centroide da área sombreada em relação aos eixos X e Y ( a = 30 cm ) .

( Peça na imagem abaixo).

Answer 1

Boa tarde!

O centróide do quadrado é (em ambos os eixos) metade do tamanho de seu lado.
Já o centróide do semi-círculo é dado pela fórmula:
$\dfrac{4R}{3\pi}$

Onde R é o raio do semi-círculo.

Para obtermos o centróide da figura 'mista' temos que calcular pela seguinte fórmula:
$\overline{y_c}\cdot A_t=\sum y_c\cdot A$

Calculando:
$\overline{y_c}\cdot \left[\left(2a\right)^2-\dfrac{\pi\cdot a^2}{2}\right]=a\cdot \left(2a\right)^2-\dfrac{\pi\cdot a^2}{2}\cdot \dfrac{4\cdot a}{3\pi}\\\overline{y_c}\cdot\left(4a^2-\dfrac{\pi\cdot a^2}{2}\right)=4a^3-\dfrac{2a^3}{3}\\\overline{y_c}\cdot\left(\dfrac{8a^2-\pi\cdot a^2}{2}\right)=\dfrac{12a^3-2a^3}{3}\\\overline{y_c}\cdot a^2\cdot \dfrac{8-\pi}{2}=\dfrac{10a^3}{3}\\\overline{y_c}=\dfrac{\dfrac{10a}{3}}{\dfrac{8-\pi}{2}}\\\overline{y_c}=\dfrac{20a}{3\left(8-\pi\right)}$

Veja que agora basta substituirmos o valor de 'a' para que obtenhamos o solicitado.
$\overline{y_c}=\dfrac{20\cdot 30}{3\left(8-\pi\right)}\\\overline{y_c}=\dfrac{600}{3\left(8-\pi\right)}\\\overline{y_c}\approx 41,166$

Para o eixo x há simetria, portanto, $x_c=30$

Espero ter ajudado!