Question

Determine o centro e o raio da circunferência da equação:
x²+y²+6x+3y+¼=0​

Answer 1

Temos a seguinte equação geral de uma circunferência:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} + 6x + 3y + \frac{1}{4} = 0$

Sabemos que essa equação em sua forma padrão é dada por:

$\blue \bullet \: \: \sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2 ax - 2by + k = 0 \: \: \blue \bullet\\ \\ \sf\red\ast \: \: sendo \: \: k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2}$

Com essa informação em mente, podemos fazer algumas comparações, pois certamente essa equação inicialmente estava nessa forma e através da substituição de valores obteve uma nova forma, logo podemos estabelecer uma relação de igualdade entre as duas.

• Observe que o termo 6x ocupa a posição de -2ax na equação padrão, logo:

$\sf - 2ax = 6x \\ \sf a = \frac{ 6 \cancel{x}}{ - 2 \cancel{x}} \\ \sf a = - 3$

• Do mesmo jeito o termo 3y ocupa a posição de -2by:

$\sf - 2by = 3y \\ \sf b = \frac{3 \cancel{y}}{ - 2 \cancel{y}} \\ \sf b = - \frac{3}{2}$

• Com os valores de "a" e "b" já possuímos o centro, já que o mesmo é dado por C(a, b), tendo esses valores podemos também encontrar o valor do raio dessa circunferência, através da substituição dos mesmos na relação de "k". Observe que o "k" corresponde a 1/4, então vamos substituir:

$\sf k = {a}^{2} + {b}^{2} - {r}^{2} \\ \sf \ \frac{1}{4} = ( - 3) {}^{2} + \left( - \frac{ 3}{2} \right) - r {}^{2} \\ \sf \frac{1}{4} = 9 + \frac{9}{4} - r {}^{2} \\ \sf - r {}^{2} = \frac{1}{4} - \frac{9}{4} - 9 \\ \sf - r {}^{2} = \frac{ - 8}{4} - 9 \\ \sf - r {}^{2} = \frac{ - 8 - 36}{4} \\ \sf - r {}^{2} = - \frac{44}{4} .( - 1) \\ \sf r {}^{2} = \frac{44}{4} \\ \sf r {}^{2} = 11 \\ \sf r = \sqrt{11}$

Com isso finalizamos o cálculo e concluímos que:

$\sf C\left( - 3, - \frac{3}{2} \right) \leftarrow centro \\ \sf r = \sqrt{11} \leftarrow raio$

Espero ter ajudado