Question

Determine o centro e o raio da circuferencia de equaçao 3x² + 3y² - 6x +12y+14=0

Answer 1

$3x^2-6x+3y^2+12y+14=0$

Vamos formar quadrados

$3x^2-6x+3+3y^2+12y+12-1=0$

$3x^2-6x+3+3y^2+12y+12=1$

$(\sqrt{3}*x-\sqrt{3})^2+(\sqrt{3}y+2\sqrt{3})^2=1$

$3*(x-1)^2+3*(y+2)^2=1$

$3*(x-1)^2+3*(y+2)^2=1$

$(x-1)^2+(y+2)^2=\frac{1}{3}$

Agora vamos lá

$(x-k)^2+(y-h)^2=r^2$

Portanto

$\boxed{\boxed{r=\frac{\sqrt{3}}{3}~~e~~C=(1,-2)}}$

Answer 2

Vou tentar explicar de uma maneira mais simples pra você entender. Esta equação do exercício é chamada de equação geral da circunferência, ela se originou da equação reduzida, que é escrita assim:

$\boxed{(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = R^{2}}$

Onde "a" e "b" são as coordenadas do centro. Se distribuirmos os quadrados fica assim:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = R^{2} \\\\ x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2} = R^{2} \\\\ organizando \\\\ \boxed{x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-R^{2} = 0}$

Ou seja, dessa equação podemos tirar que os números que acompanham o "x" nas demais equações correspondem a -2a, enquanto "y" correspondem a -2b. Enquanto o valor sozinho, vale a²+b²-R². Mas perceba também que x² e y² estão sozinhos, sem nenhum número, então pra dividirmos a nossa também temos que dividir a equação inteira por três:

$3x^{2}+3y^{2}-6x+12y+14 = 0 \ \ \div 3 \\\\ x^{2}+y^{2}-2x+4y+\frac{14}{3} = 0 \\\\\\ -2a = -2 \ \ \Rightarrow \boxed{a = 1} \\\\ -2b = 4 \ \ \Rightarrow \boxed{b = -2} \\\\ \boxed{\boxed{\therefore C(1,-2)}} \\\\\\ a^{2}+b^{2}-R^{2} = \frac{14}{3} \\\\ (1)^{2}+(-2)^{2}-R^{2} = \frac{14}{3} \\\\ 1+4-R^{2} = \frac{14}{3} \\\\ R^{2} = 5-\frac{14}{3} \\\\ MMC = 3 \\\\ R^{2} = \frac{15-14}{3} \\\\ R^{2} = \frac{1}{3} \\\\ R = \sqrt{\frac{1}{3}} \\\\ racionalizando$

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \boxed{\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}}$