Question

Determine o centro da circunfêrencia que passa por A(1,3); B(5,1); C(4,4)?

Answer 1

Passo 1: Encontrar as retas mediatrizes dos segmentos $AB$ e $BC:$

$\bullet\;\;$ Encontrando os pontos médios dos segmentos $AB:$ e $BC:$

$M_{_{AB}}=\left(\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2},\;\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2} \right )\\ \\ \\ M_{_{AB}}=\left(\dfrac{1+5}{2},\;\dfrac{3+1}{2} \right )\\ \\ \\ M_{_{AB}}=(3,\;2)\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

$M_{_{BC}}=\left(\dfrac{x_{_{B}}+x_{_{C}}}{2},\;\dfrac{y_{_{B}}+y_{_{C}}}{2} \right )\\ \\ \\ M_{_{BC}}=\left(\dfrac{5+4}{2},\;\dfrac{1+4}{2} \right )\\ \\ \\ M_{_{BC}}=\left(\dfrac{9}{2},\;\dfrac{5}{2}\right)\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Encontrando os coeficientes angulares dos segmentos $AB$ e $BC:$

$m_{_{AB}}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}\\ \\ \\ m_{_{AB}}=\dfrac{1-3}{5-1}\\ \\ \\ m_{_{AB}}=-\dfrac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}\\ \\ \\ \\ m_{_{BC}}=\dfrac{y_{_{C}}-y_{_{B}}}{x_{_{C}}-x_{_{B}}}\\ \\ \\ m_{_{BC}}=\dfrac{4-1}{4-5}\\ \\ \\ m_{_{BC}}=-3\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


$\bullet\;\;$ O coeficiente angular da reta mediatriz é o inverso negativo do coeficiente angular do segmento, pois a reta mediatriz e o segmento são perpendiculares.

Coeficiente angular da reta mediatriz do segmento $AB:$

$\widetilde{m}_{_{AB}}=-\dfrac{1}{m_{_{AB}}}\\ \\ \\ \widetilde{m}_{_{AB}}=-\dfrac{1}{-\frac{1}{2}}\\ \\ \\ \widetilde{m}_{_{AB}}=2\;\;\;\;\;\;\mathbf{(v)}$


Coeficiente angular da reta mediatriz do segmento $BC:$

$\widetilde{m}_{_{BC}}=-\dfrac{1}{m_{_{BC}}}\\ \\ \\ \widetilde{m}_{_{BC}}=-\dfrac{1}{-3}\\ \\ \\ \widetilde{m}_{_{BC}}=\dfrac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(vi)}$


$\bullet\;\;$ Obtendo as equações das retas mediatrizes:

A reta mediatriz passa pelo ponto médio do segmento com inclinação $\widetilde{m}.$

$y-y_{_{M}}=\widetilde{m}\cdot (x-x_{_{M}})$


A equação para a reta mediatriz do segmento $AB$ é

$y-2=2\cdot (x-3)\\ \\ y-2=2x-6\\ \\ y=2x-6+2\\ \\ y=2x-4\;\;\;\;\;\;\mathbf{(vii)}$


A equação para a reta mediatriz do segmento $BC$ é

$y-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{3}\cdot \left(x-\dfrac{9}{2} \right)\\ \\ \\ y-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{3}\,x-\dfrac{3}{2}\\ \\ \\ y=\dfrac{1}{3}\,x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}\\ \\ \\ y=\dfrac{1}{3}\,x+1\;\;\;\;\;\;\mathbf{(viii)}$
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Passo 2: O centro da circunferência é a interseção entre as duas retas mediatrizes:

Vamos resolver o sistema formado pelas equações $\mathbf{(vii)}$  e $\mathbf{(viii)}:$

$\left\{ \begin{array}{l} y=2x-4\\ \\ y=\dfrac{1}{3}\,x+1 \end{array} \right.$


Igualando os $y$ das duas equações, temos

$2x-4=\dfrac{1}{3}\,x+1\\ \\ 6x-12=x+3\\ \\ 6x-x=3+12\\ \\ 5x=15\\ \\ x=3$


Substituindo na primeira equação do sistema o valor de $x$ encontrado, obtemos

$y=2\cdot 3-4\\ \\ y=6-4\\ \\ y=2$
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O centro da circuferência é o ponto $(3,\;2).$