Question

determine o centésimo termo da PA na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar  centésimo termo (a₁₀₀) de uma PA da qual temos as seguintes informações: a soma do terceiro termo (a₃) com o sétimo termo (a₇) é igual a 30; e a soma do quarto termo (a₄) com o nono termo (a₉) é igual a 60.
Ou seja, as informações de que dispomos sobre a PA da sua questão são estas: 

a₃ + a₇ = 30      . (I) 
a₄ + a₉ = 60      . (II)

Agora note que a fórmula do termo geral de uma PA é dada por: 

an = a₁ + (n-1)*r , em que "an" é o termo que se quer encontrar; "a₁" é o primeiro termo; "n" é o número de termos e "r" é a razão da PA. 
Então a partir da fórmula do termo geral acima, fica fácil de concluir que: 

a₃ = a₁ + 2r 
a₄ = a₁ + 3r 
a₇ = a₁ + 6r 
a₉ = a₁ + 8r. 

Sabendo disso, então vamos nas expressões (I) e (II) e vamos substituir cada termo pelo que vimos aí em cima. Assim, teremos; 

i) Na expressão (I), que é esta: a₃ + a₇ = 30, teremos: 

a₁ + 2r + a₁ + 6r = 30 ------- reduzindo os termos semelhantes, temos: 
2a₁ + 8r = 30 ---- para facilitar, vamos dividir toda a expressão por "2", ficando:
a₁ + 4r = 15      . (III) 

ii) Na expressão (II), que é esta: a₄ + a₉ = 60, teremos: 

a₁ + 3r + a₁ + 8r = 60 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos: 
2a₁ + 11r = 60      . (IV). 

iii) Agora veja que ficamos com um sistema de equações formado pelas expressões (III) e (IV) e que são estas: 

a₁ + 4r = 15        . (III)
2a₁ + 11r = 60    .  (IV) 

Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão "III" por "-2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, a expressão (IV). Assim: 

-2a₁ - 8r = - 30 --- [esta é a expressão (III) multiplicada por "-2"]
2a₁+11r = 60 --- [esta é a expressão (IV) normal]
------------------------------- somando membro a membro, teremos: 
0 + 3r = 30 ---- ou apenas: 
3r = 30 
r = 30/3 
r = 10 <--- Esta é a razão da PA da sua questão. 

Agora que já vimos que r = 10, então vamos encontrar qual é o valor do primeiro termo (a₁). Para isso, vamos em quaisquer uma das expressões e, em quaisquer uma delas, substituiremos "r" por "10". Vamos na expressão (III), que é esta: 

a₁ + 4r = 15 ---- substituindo-se "r" por "10", teremos: 
a₁ + 4*10 = 15 
a₁ + 40 = 15 
a₁ = 15 - 40 
a₁ = - 25 <--- Este é o valor do primeiro termo (a₁). 

iv) Agora vamos encontrar qual é 100º termo. Como você já viu pela fórmula do termo geral de uma PA [an = a₁ + (n-1)*r], então o 100º termo será encontrado assim: 

a₁₀₀ = a₁ + 99r ---- substituindo-se "a₁" e "r" por seus valores, teremos; 
a₁₀₀ = - 25 + 99*10 
a₁₀₀ = - 25 + 990 
a₁₀₀ = 965 <--- Esta é a resposta. Este é o valor do 100º termo (a₁₀₀) da PA da sua questão.

É isso aí. 
dúvidas? comente por favor !! =)