Matemática, perguntado por BeatrizBarttollone, 10 meses atrás

Determine o centésimo termo da P.A. ( 2, 5, 8, 11, ...)

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação dos problemas:

Da sequência (2, 5, 8, 11,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:2

c)centésimo termo (a₁₀₀): ?

d)número de termos (n): 100

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 100ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saiba o valor do centésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e os termos solicitados igualmente serão maiores que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 5 - 2 ⇒

r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₀ = 2 + (100 - 1) . (3) ⇒

a₁₀₀ = 2 + (99) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀₀ = 2 + 297 ⇒

a₁₀₀ = 299

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O centésimo termo da P.A.(2, 5, 8, 11,...) é 299.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₀ = 299 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

299 = a₁ + (100 - 1) . (3) ⇒

299 = a₁ + (99) . (3) ⇒

299 = a₁ + 297 ⇒ (Passa-se 297 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

299 - 297 = a₁ ⇒

2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2 (Provado que a₁₀₀ = 299.)

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