Question

Determine o campo elétrico produzido por um disco de raio r que possui uma densidade superficial de carga $\sigma$ positiva uniforme em um ponto P situado sobre o eixo do disco a distância $x$ de seu centro.

Dados:
$k=\frac{1}{4*\pi*\epsilon_{0}}$
$\sigma=\frac{Q}{A}$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{\vec{E}_{x}=\frac{1}{4*\pi*\epsilon_{0}}\times \frac{\sigma*A*x}{\sqrt{(x^{2}+r^{2})^{3}}}}}$

Passo 1:

De acordo com o enunciado podemos extrair as seguintes informações:

• Raio do disco: r
• Densidade superficial de carga:  $+ \sigma$
• Um ponto que chamaremos de P, como pode ser visto na figura

Passo 2:

Como ilustrado na figura, sabemos que o campo elétrico é dado pela seguinte expressão:

$\boxed{\vec{E}=\frac{k*Q}{d^{2}}} \ \ \ \ ... \ (1)$

Onde:

• k representa nossa constate eletrostática:  $k=\frac{1}{4*\pi*\epsilon_{0}}$
• Q representa nossa carga
• d representa a distância

Porém, em nosso caso o problema nos fornece a densidade superficial de carga no disco, portanto podemos equacionar que:

$\sigma=\frac{Q}{A} \\ \\\boxed{Q=\sigma*A} \ \ \ \ ... \ (2)$

• Onde A representa a área do disco.

Das equações (1) e (2) obtemos a expressão do campo gerado pelo disco:

$\boxed{\vec{E}=\frac{k*\sigma*A}{d^{2}}} \ \ \ \ ... \ (3)$

Passo 3:

Observando a figura podemos ver que a distância d é dada por:

$\boxed{d=\sqrt{x^{2}+r^{2}}}$

Portanto a equação do campo elétrico assume a seguinte forma:

$\vec{E}=\frac{k*\sigma*A}{(\sqrt{x^{2}+r^{2}})^{2}} \\ \\\boxed{\vec{E}=\frac{k*\sigma*A}{(x^{2}+r^{2})}} \ \ \ \ ... \ (4)$

Passo 4:

Por fim, o problema nos pede a componente do campo elétrico ao longo do eixo x, observando a figura percebemos que:

$\boxed{\vec{E}_{x}=\vec{E}\times cos(\theta)}$

Mas, não temos uma expressão para $cos(\theta)$ , portanto:

$\boxed{cos(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}}}$

Reescrevendo $\vec{E}_{x}$:

$\boxed{\vec{E}_{x}=\vec{E}\times cos(\theta)} \ \ \ \ ... \ (5)$

Assim das equações (4) e (5) obtemos:

$\vec{E}_{x}=\frac{k*\sigma*A}{(x^{2}+r^{2})}\times \frac{x}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}}$

$\vec{E}_{x}=\frac{k*\sigma*A*x}{(x^{2}+r^{2})^{\frac{3}{2}}}$

Substituindo o valor de k:

$\boxed{\boxed{\vec{E}_{x}=\frac{1}{4*\pi*\epsilon_{0}}\times \frac{\sigma*A*x}{\sqrt{(x^{2}+r^{2})^{3}}}}}$