Question

Determine o campo de existência da função y=log x (x²+x-12).

Answer 1

Oi Caroline.

Uma função logarítmica existirá se e somente se a base for um número positivo e diferente de 1. Já o logaritmando deve ser um número positivo qualquer.

Desse modo, para a função:
$y = log_xx^2+x-12$

Temos que x é a base de um logaritmo, então:
$1o. \:\:caso: \\ \\ x > 0 \\ x \neq 1$

O logaritmando (x²+x-12) deve ser positivo. Então:
$2o.\:\:caso:\\ \\ x^2+x-12>0 \\ \\ \Delta = 1-4(1)(-12) \\ \Delta = 1+48\\ \Delta=49 \\ \\ x' = \frac{-1+7}{2}=3 \\ \\ x'' = \frac{-1-7}{2}= -4$

Logo, para essa inequação quadrática, teremos um x positivo quando x > 3 ou x < -4.

Note que, pelo 1º caso, x deve ser maior que 0, o que  imediatamente exclui a possibilidade de x < 4. Por esse mesmo caso, x deve ser diferente de 1, então a possibilidade x > 3 é válida, pois cumpre ao mesmo tempo a condição de ser maior que 0 e diferente de 1.

Portanto essa função existe para todo x real maior que 3. Isto é:
$\{x\in R \:\:|\:\:x >3\}$

Bons estudos!