Question

Determine o baricentro entre os pontos A (2,4) B (6,3) C (7,-12)

Answer 1

De acordo com os dados enunciado e calculados concluímos que o baricentro é:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ G \left( 5, \: \dfrac{- 5 }{3}\right) } }$

Todo triângulo possui três medianas que se cruzam em um ponto chamado baricentro do triângulo.

O baricentro G é a interseção das medianas do triângulo.

Considere um triângulo de vértices da  ( figura em anexo ),$\textstyle \sf \sf A\: ( \: x_1,y_1\: ), \: B\: ( \: x_2,y_2\: ) ~ e ~ C\: ( \: x_3,y_3\: )$.

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf G \left( \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \: \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf A\: (\: 2,4\: ) \\ \\ \sf B\: (\: 6,3\: ) \\ \\\sf C\: (\: 7, -12\: ) \end{cases} } }$

Aplicando a fórmula da expressão, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ G \left( \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \: \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ G \left( \dfrac{2 + 6 + 7}{3}, \: \dfrac{4 + 3 - 12}{3}\right) } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ G \left( \dfrac{15}{3}, \: \dfrac{- 5 }{3}\right) } }$

$\Large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf G \left( 5, \: \dfrac{- 5 }{3}\right) }} }$

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o baricentro dos pontos dados é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf G = \Bigg(5,\:-\frac{5}{3}\Bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

                          $\Large\begin{cases} A(2, 4)\\B(6, 3)\\C(7, -12)\end{cases}$

Sabemos que o baricentro "G" ou centróide de um polígono, de número de lados "n", é o ponto onde se cruzam todas as medianas.  Mediana é todo o segmento de reta que parte de um vértice e atinge o ponto médio do cateto oposto.

Para calcularmos o baricentro de um polígono devemos calcular a média aritmética entre as abscissas e ordenadas dos vértices do referido polígono, ou seja:

        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} G = \Bigg(\frac{X_{A} + X_{B} + X_{C} +\:\cdots\:+X_{n}}{n},\:\frac{Y_{A} + Y_{B} + Y_{C} + \:\cdots +Y_{n}}{n}\Bigg)\end{gathered} }$

Como nos foi dado apenas 3 pontos, subtendemos que o referido polígono é um triângulo. Neste caso, podemos calcular o baricentro utilizando a seguinte estratégia:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} G = \Bigg(\frac{X_{A} + X_{B} + X_{C}}{3}, \:\frac{Y_{A} + Y_{B} + Y_{C}}{3}\Bigg)\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{2 + 6 + 7}{3}, \:\frac{4 + 3 + (-12)}{3}\Bigg)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{15}{3},\:-\frac{5}{3}\Bigg)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(5,\:-\frac{5}{3}\Bigg)\end{gathered}$

✅ Portanto, o baricentro dos pontos é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}G = \Bigg(5,\:-\frac{5}{3}\Bigg)\end{gathered}$

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