Question

Determine o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos z=√3+i


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Answer 1

Resposta:

π/6 // 30º

Explicação passo-a-passo:

A explicação está na imagem, qualquer dúvida é só falar! :)

Answer 2

Resposta:

$arg(z) = \frac{\pi}{6} = 30°$

Explicação passo-a-passo:

$z = \sqrt{3} + i$

Pela forma trigonométrica de um número complexo:

$z = |z| \times ( \cos( \gamma ) + i \sin( \gamma ) )$

A forma de um número complexo :

$z = a + bi \\ a = \sqrt{3} \\ b = 1 \\ z = \sqrt{3} + i$

Agora sabemos que:

$\cos( \gamma ) = \frac{a}{ |z| } \\ \sin( \gamma ) = \frac{b}{ |z| }$

E que o módulo de Z é :

$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

Então calculamos a fórmula do módulo de Z.

$|z| = \sqrt{ { \sqrt({3}) }^{2} + {1}^{2} } = \\ |z| = \sqrt{3 + 1} = \\ |z| = \sqrt{4} = 2 \\ |z| = 2$

Agora aplicamos a fórmula do seno e cosseno para achar as Coordenadas trigonométricas.

$\cos( \gamma ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin( \gamma ) = \frac{1}{2}$

Agora pegamos e relembramos a tabela dos ângulos notáveis.

$\sin( \frac{\pi}{6} ) = \frac{1}{2} \\ \sin( \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin( \frac{\pi}{3} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$\cos( \frac{\pi}{6} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos( \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos( \frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2}$

Agora achamos o pi radianos que bate com as coordenadas dadas acima.

Sabemos que o ângulo cujas coordenadas do seno é cosseno respectivamente são

$\frac{ \sqrt{3} }{2} , \frac{1}{2}$

Isso bate exatamente com:

$\cos( \frac{\pi}{6} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin( \frac{\pi}{6} ) = \frac{1}{2} \\ \frac{\pi}{6} = \frac{180°}{6} = 30° \\ \frac{\pi}{6} = 30°$

Portanto o argumento de Z:

$arg(z) = 30° = \frac{\pi}{6}$