Question

Determine o argumento principal de cada um dos
seguintes números complexos: A)z= - 1/2 - 1/2i B)z=2i C)z= -6 D)z= - i/4​ ​

Answer 1

Resposta:

$a) arg(z)=\frac{5\pi}{4}rad$

$b) arg(z)= \frac{\pi }{2}rad$

$c) arg(z)= \pi rad$

$d) arg(z)= \frac {3\pi }{2}rad$

Explicação passo-a-passo:

Para determinar o argumento de cada um desses números complexos precisamos basicamente usar (a,b) de cada um deles como coordenadas no plano de Argand-Gauss. (OBS: A imagem com o plano está indo em ordem mas apenas com coordenadas, o ângulo e z, as contas vou deixar apenas abaixo :D )

Item (A):

$z=\frac{-1}{2} - \frac {1}{2}i$

Utilizando a e b para construir o diagrama, temos:

$z=(\frac{-1}{2}, \frac{-1}{2})$

Ou seja, o vetor Z, tem essas coordenadas. Agora, ao invés de fazermos o habitual módulo ou norma de Z vamos perceber algo que pode facilitar nossas vidas. Espero que não tenha sido só eu que notei que as coordenadas estão iguais, isso quer dizer que ao montar isso no plano, Z será a diagonal de um "quadrado" de lado 0.5 u.c. em algum dos quadrantes.

E por ser a diagonal de um quadrado forma um ângulo de 45° ou π/4, e como o θ do argumento é em sentido anti-horário concluímos que teremos um ângulo de 225° ou 5π/4.

Portanto:

$arg(z)=\frac{5\pi}{4}rad$

Item (B):

$z= 2i$

Agora, de novo, utilizando a e b para montar o plano:

$z= (0, 2)$

Ao observar como essas coordenadas são no gráfico, percebemos que está apenas no eixo imaginário, e por estar nesse eixo ao se fazer uma análise rápida desse ângulo percebemos que é 90° ou π/2. (Spoiler: infelizmente nenhuma vai precisar tirar o módulo de Z, se quiser depois por comentário ou outra pergunta eu mostro como se deve fazer quando precisa tirar o módulo do vetor Z e não se tem um ângulo notável)

Por isso:

$arg(z)= \frac{\pi }{2}rad$

Item (C):

$z= -6$

Coordenadas:

$z=(-6, 0)$

E mais uma vez, apenas de passar o olho em como o gráfico ficou, percebemos que não é necessário o cálculo do vetor Z. Nesse caso o número se apresenta inteiramente no eixo real, porém na parte negativa do eixo. Ou seja tem argumento igual a 180°.

Sendo assim:

$arg(z)= \pi rad$

Item (D):

$z= \frac {-i}{4}$

Coordenadas:

$z=(0, \frac {-1}{4})$

Olhando esse último gráfico, temos um número novamente no eixo dos imaginários, chamado de imaginário puro. Com argumento igual a 270° ou 3π/2.

E finalmente:

$arg(z)= \frac {3\pi }{2}rad$

Espero que não tenha se cansado de ler e parado pelo caminho kkkk. Se tiver alguma dúvida pode me chamar nos comentários. Mais alguma questão também pode me chamar. Bons estudos !!!!

(Eu esforcei para fazer os planos mais claros e bonitinhos possíveis, mas mesmo assim achei feio kkk, foi mal)