Question

Determine o argumento de z do número complexo z = 2 + 2i.
A- 2π/4
B- π/2
C- 3π/3
D- 3π/2
E- π/4

Answer 1

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$\rm\large\green{\boxed{ \ \ \ \red{ E) }\ \blue{ \pi/4 }\ \ \ \ }}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}\ \red{cores}\ \blue{com}\ \pink{o}\ \orange{App}\ \green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Valeria, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗

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☔ Acompanhe a resolução abaixo e após o resultado você encontrará um resumo sobre o argumento de um número complexo que talvez te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$✍

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➡ $\sf \large \blue{ |z| = \sqrt{2^2 + 2^2} }$

➡ $\sf \large \blue{ |z| = \sqrt{8} }$

➡ $\sf \large \blue{ |z| = 2 \cdot \sqrt{2} }$

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➡ $\sf \large \blue{ sen(\theta) = \dfrac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

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➡ $\sf \large \blue{ p_Z\ est\acute{a}\ no\ 1^{\circ}\ quadrante}$

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➡ $\sf \large \blue{ \theta = sen^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^{\circ}}$

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$\rm\large\green{\boxed{ \ \ \ \red{ E) }\ \blue{ \pi/4 }\ \ \ \ }}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$✍

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ARGUMENTO DE Z

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☔ Sendo os números complexos escritos da forma

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{Z = a + b \cdot i} & \\ & & \\ \end{array} }}}}$

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Sendo

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➡ a: parte real

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➡ b: parte imaginária

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☔ Temos que o nosso argumento de Z para um número complexo qualquer é o ângulo θ formado, no plano de Argand-Gauss (semelhante ao plano cartesiano porém ao invés de x nas abscissas teremos o coeficiente real a e ao invés de y nas ordenadas teremos o coeficiente imaginário b) pelo eixo a e o vetor que liga a origem do plano ao ponto Z.

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$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){7}}\put(3,-3){\line(0,1){7}}\put(7.2,0){a}\put(2.9,4.4){b}\put(7.1,0.45){\line(-4,-22){0.45}}\put(4.3,2.5){\line(-4,-7){0.3}}\put(3.46,4.25){\line(-4,-31){0.45}}\put(3.02,0){\line(1,2){1.3}}\put(4.2,3.1){ p_Z }\put(3.02,0){\circle*{0.2}}\put(4.3,2.6){\circle*{0.2}}\qbezier(4,0)(4,0.7)(3.45,0.85)\put(3.45,0.25){ \theta }\end{picture}$

$(Esta\ imagem\ n\tilde{a}o\ \acute{e}\ visualiz\acute{a}vel\ pelo\ App\ Brainly\ ☹)$

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☔ Portanto, para encontrar θ, iremos primeiramente identificar em qual dos 4 quadrantes do plano de Argand-Gauss nosso ponto está.

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$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){7}}\put(3,-3){\line(0,1){7}}\put(7.2,0){a}\put(2.9,4.4){b}\put(7.1,0.45){\line(-4,-22){0.45}}\put(3.46,4.25){\line(-4,-31){0.45}}\put(4,1){Q1}\put(4,-1){Q4}\put(1.3,1){Q2}\put(1.3,-1){Q3}\end{picture}$

$(Esta\ imagem\ n\tilde{a}o\ \acute{e}\ visualiz\acute{a}vel\ pelo\ App\ Brainly\ ☹)$

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☔ Tendo identificado isto, agora devemos encontrar

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{sen(\theta) = \dfrac{b}{|z|}} & \\ & & \\ \end{array} }}}}$

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sendo que pelo Teorema de Pitágoras temos

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{|z| = D_{{0, p_Z}} = \sqrt{a^2 + b^2}} & \\ & & \\ \end{array} }}}}$

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☔ Com o valor de sen(θ) e tendo identificado qual o quadrante que o ponto pertence sabemos então qual é o valor de θ

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➡ Para o primeiro quadrante temos que

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\theta = sen^{-1}\left(\dfrac{b}{|z|}\right)} & \\ & & \\ \end{array} }}}}$

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➡ Para o segundo e o terceiro quadrante temos que

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\theta = 180^{\circ} - sen^{-1}\left(\dfrac{b}{|z|}\right)} & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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➡ Para o quarto quadrante temos que

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\theta = 360^{\circ} + sen^{-1}\left(\dfrac{b}{|z|}\right) } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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☔ Se $\dfrac{b}{|z|}$ corresponder ao valor de um ângulo notável (30º, 45º ou 60º) então saberemos rapidamente qual é o valor real de θ, caso contrário, na ausência de uma tabela trigonométrica de arcos, teremos de deixar a resposta como uma função trigonométrica de um arco.

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$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}\ \red{cores}\ \blue{com}\ \pink{o}\ \orange{App}\ \green{Brainly})$ ☘☀

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$\large\textit{"Absque\ sudore\ et\ labore}$

$\large\textit{nullum\ opus\ perfectum\ est."}$