Question

DETERMINE o apótema de um dodecágono regular, cujo lado mede 6 m.

Answer 1

Se considerarmos que um hexágono regular pode ser divididi em seis triãngulos equiláteros congruentes, ao se traçar as diagonais, temos que a área total do hexágono é igual a seis vezes a área de um desses triãngulos, cujo lado também mede 6m.

Como área de um triãngulo pode ser calculada pela fórmula: , sendo e dois lados adjacentes e o ângulo entre eles, temos:

Área de cada triângulo equilátero:

Área do hexágono:

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Answer 2

Resposta:

ap = 3(2 + √3)m

Explicação passo-a-passo:

Cada ângulo central do dodecágono mede 360° : 12 = 30°, ao traçar o apótema, que é bissetriz desse ângulo , 30° = 2 = 15°

tg15° = tg(45 - 30°) = (tg45° - tg30°)/(1 + tg45°.tg30°)

tg15° = (1 - √3/3)(1 + 1.√3/3)

tg15° = (3 -√3)/3(3 + √3)/3

tg15° = (3 - √3)/(3 + √3)

tg15° = (3 - √3)(3 -√3)/(3 + √3)(3 - √3)

tg15° = (3 - √3)² / [3² - (√3)²]

tg15° = (9 - 6√3 + 3)/(9 - 3)

tg15° = (12 - 6√3)/6

tg15° = 6(2 - √3)/6

tg15° = 2 - √3

tgα = cat.op/cat. adj

tg15° = 3/ap

2 - √3 = 3/ap

(2 - √3)ap = 3

ap = 3/(2 - √3)

ap = 3(2 + √3)/(2 - √3)(2 + √3)

ap = 3(2 + √3)/[2² -(√3)²]

ap = 3(2 + √3)/(4 - 3)

ap = 3(2 + √3)/1

ap = 3(2 + √3)m