Question

Determine o ângulo entre os vetores u = ( 2,-1,-1) e v = (-1, -1, 2)

Answer 1

O ângulo $\theta$ entre os vetores $\vec{\mathbf{u}}$ e $\vec{\mathbf{v}}$ pode ser obtido através do produto escalar entre os vetores:

$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=\|\vec{\mathbf{u}}\|\cdot \|\vec{\mathbf{v}}\|\cdot \cos \theta\\ \\ \cos \theta=\dfrac{\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}}{\|\vec{\mathbf{u}}\|\cdot \|\vec{\mathbf{v}}\|}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Encontrando o produto escalar entre os vetores:

$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=(2,\;-1,\;-1)\cdot(-1,\;-1,\;2)\\ \\ \vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=2\cdot (-1)+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot 2\\ \\ \vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=-2+1-2\\ \\ \vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=-3$


$\bullet\;\;$ Encontrando os módulos dos vetores:

$\|\vec{\mathbf{u}}\|=\|(2,\;-1,\;-1)\|\\ \\ \|\vec{\mathbf{u}}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}\\ \\ \|\vec{\mathbf{u}}\|=\sqrt{4+1+1}\\ \\ \|\vec{\mathbf{u}}\|=\sqrt{6}\\ \\ \\ \|\vec{\mathbf{v}}\|=\|(-1,\;-1,\;-2)\|\\ \\ \|\vec{\mathbf{v}}\|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}\\ \\ \|\vec{\mathbf{v}}\|=\sqrt{1+1+4}\\ \\ \|\vec{\mathbf{v}}\|=\sqrt{6}$


$\bullet\;\;$ Substituindo os valores encontrados na equação $\mathbf{(i)},$ temos

$\cos \theta=\frac{-3}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}\\ \\ \cos \theta=\frac{-3}{6}\\ \\ \cos \theta=-\frac{1}{2}\\ \\ \theta=\mathrm{arccos}\left(-\frac{1}{2} \right )\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\theta=120^{\circ} \end{array}}$