Question

Determine o ângulo da reta r: x=y=z com o plano pi: 2x-y-z-1=0

Answer 1

Inicialmente, podemos encontrar o ângulo entre a reta e o vetor normal ao plano. O vetor diretor da reta é da forma $\vec r=(t,-t,t),~t\in\mathbb{R}$, já que $x=-y=z$. O vetor normal ao plano pode ser obtido de sua equação: $\vec n=(2,-1,-1)$. Assim:

$\cos\theta=\dfrac{r\cdot n}{||r||\cdot||n||}=\dfrac{(t,-t,t)\cdot(2,-1,-1)}{\sqrt{t^2+(-t)^2+t^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\\\\=\dfrac{2t+t-t}{\sqrt{3t^2}\cdot\sqrt{6}}=\dfrac{2t}{3\sqrt2|t|}=\dfrac{\sqrt2}{3}\Longrightarrow \theta=arc~\cos\left(\dfrac{\sqrt2}{3}\right)$

Como esse é o ângulo que a reta faz com o vetor normal ao plano, temos que o ângulo que essa reta faz com o plano é o complementar do ângulo $\theta$. Logo, o ângulo entre a reta e o plano é $\boxed{\alpha=arc~\sin\left(\dfrac{\sqrt2}{3}\right)}$.