determine o 90° termo da PA (2,13,24,35..)?
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Resposta:
. a90 = 981
Explicação passo-a-passo:
.
. P.A., em que:
.
. a1 = 2
. razão = 13 - 2 = 11
.
. a90 = a1 + 89 . razão
. = 2 + 89 . 11
. = 2 + 979
. = 981
.
(Espero ter colaborado)
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (2, 13, 24, 35,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 11 unidades (por exemplo, 13=2+11 e 24=13+11). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 2
d)nonagésimo ou 90º termo (a₉₀): ?
e)número de termos (n): 90
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 90ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do nonagésimo termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, porque o quarto termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 13 - 2 ⇒
r = 11 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o nonagésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₉₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₉₀ = 2 + (90 - 1) . (11) ⇒
a₉₀ = 2 + (89) . (11) ⇒
a₉₀ = 2 + 979 ⇒
a₉₀ = 981
RESPOSTA: O 90º termo da P.A. (2, 13, 24, ...) é 981.
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₉₀ = 981 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o 90º termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₉₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
981 = a₁ + (90 - 1) . (11) ⇒
981 = a₁ + (89) . (11) ⇒
981 = a₁ + 979 ⇒
981 - 979 = a₁ ⇒
2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 2 (Provado que o 90º termo é 981.)
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